Итак, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна их геометрической сумме, т.е. определяется замыкающей стороной много­угольника, построенного на заданных силах.

Если к заданной системе сил , , …  присоединить силу , равную по модулю и противоположно направленную их равнодействующей  (рис.2.5,а), то силовой многоугольник, построенный из некоторой точки О плоскости замкнется в этой точке (рис.2.5,б), т.е. равнодействующая новой системы сил окажется равной нулю.

                                         Рис.2.5

Система сил, равнодействующая которых равна нулю, не приводит к изменению первоначального состояния загруженного тела и носит название уравно­вешенной системы сил.

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут. Это условие является геометрическим условием равновесия системы сходящихся сил.

Теорема о трех силах.

Теорема: Если под действием трех не параллельных сил твердое тело находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Положим, что некоторое твердое тело (рис.2.6) находится в равновесии под действием трех сил ,  и , приложенных соответ­ственно в точках А, В и С.

Продолжим линии действия сил  и  до взаимного их пере­сечения в точке О и перенесем в эту точку указанные силы. Найдем равнодействующую сил  и  по правилу параллелограмма. После замены действия сил  и  их равнодействующей ,тело будет находиться в равновесии под действием двух сил  и , что возможно лишь в том случае, когда эти силы равны по модулю и дей­ствуют вдоль общей прямой в противоположные стороны. Следовательно, линия действия третьей силы  также проходит через точку О, что и требовалось доказать.

 

 

                          

                                                    Рис.2.6  

 

Необходимо иметь в виду, что обратное утверждение не справедливо. Если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то это не является признаком или условием их равновесия.

 

Проекция силы на ось. Разложение силы по

Координатным осям.

 

Проекцией заданной силы  на произвольную ось называется отрезок этой оси, взятый со знаком плюс пли минус и заключенный между двумя перпендикулярами, проведенными к оси через начало и конец силы.

Рассмотрим силу , образующую с горизонтальной осью x угол α и найдем её проекцию на эту ось (рис.2.7).

Через начало А, и конец В заданной си­лы проведем перпендикуляры к оси x и обозначим точки их пересече­ния с осью через a и b. Согласно приведенному выше определению отрезок ab является проекцией силы на ось x. Обозначим её символом X, т.е. ab = X.

 

                          

                                                  Рис.2.7 

 

Из начала силы  проведем прямую АА₁ параллельно оси x. В результате получим прямоугольный треу­гольник ABA₁, гипотенуза которого равна заданной силе , а катет АА₁  равен проекции этой силы на ось x, т.е. АА₁ = X. Из треуголь­ника ABA₁ следует:

                                          АА₁= A B ∙ cosα, или     

                                                  X = cosα                                                                   (2.11)

Угол α  всегда измеряется от положительного направления оси к положительному направлению силы.