Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения

(12.1)

Нормальная форма дифференциального уравнения

(12.2)

где

y=y(x) -неизвестная функция, подлежащая определению,

f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения в нормальной форме, равная первой производной функции y(x). В функцию f(x,y) помимо аргумента x входит и сама неизвестная функция y(x).

Пример:

- общий вид дифференциального уравнения первого порядка,

- нормальная форма этого же уравнения.

Если неизвестная функция у зависит от одного аргумента x, то дифференциальное уравнение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если функция у зависит от нескольких аргументов, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения

является семейство функций у=у(х,с) (рис 12.8):

Рис. 12.8.

При решении прикладных задач ищут частные решения дифференциальных уравнений. Выделение частного решения из семейства общих решений осуществляется с помощью задания начальных условий:

(12.3)

т.е. начальной точки с координатами (х₀, у₀).

Нахождение частного решения дифференциального уравнения

(12.2)

удовлетворяющего начальному условию

(12.3)

называется задачей Коши.

В численных методах задача Коши ставится следующим образом: найти табличную функцию которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (12.2) и начальному условию (12.3) на отрезке [a,b] с шагом h, то есть найти таблицу

i	x	y
0	x0	y0
1	x1	y1
2	x2	y2
3	x3	y3
...	...	...
n	xn	yn

Здесь

h - шаг интегрирования дифференциального уравнения,

a=x₀ - начало участка интегрирования уравнения,

b=x_n - конец участка,

n=(b-a)/h - число шагов интегрирования уравнения.

На графике (рис 12.9) решение задачи Коши численными методами представляется в виде совокупности узловых точек с координатами (x_i,y_i), .

Рис. 12.9.

Методы Рунге - Кутта

Наиболее эффективными и часто встречаемыми методами решениями задачи Коши являются методы Рунге - Кутта. Они основаны на аппроксимации искомой функции у(х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при помощи разложения функции у(х) в окрестности шага h каждой i-ой точки в ряд Тейлора:

(12.5)

Усекая ряд Тейлора в различных точках и отбрасывая правые члены ряда, Рунге и Кутт получали различные методы для определения значений функции у(х) в каждой узловой точке. Точность каждого метода определяется отброшенными членами ряда.

Метод Рунге - Кутта 1-го порядка (метод Эйлера)

Отбросим в (12.4) члены ряда, содержащие h², h³, h⁴:.

Тогда

Так как

Получим формулу Эйлера:

(12.5)

Так как точность методов Рунге-Кутта определяется отброшенными членами ряда (12.4), то точность метода Эйлера на каждом шаге составляет .

Алгоритм метода Эйлера можно построить в виде двух программных модулей: основной программы и подпрограммы ELER, реализующей метод.

Рис. 12.10. Схема алгоритма метода Эйлера

Здесь

(x,y)-при вводе начальная точка, далее текущие значения табличной функции,

h-шаг интегрирования дифференциального уравнения,

b-конец интервала интегрирования.

Рассмотрим геометрический смысл метода Эйлера.

Формула Эйлера имеет вид:

где

Тогда формула Эйлера принимает вид:

где

- тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(x) в начальной точке каждого шага.

Рис. 12.11. Геометрический смысл метода Эйлера

В результате в методе Эйлера на графике (рис 12.10) вся искомая функция y(x) на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией, каждый отрезок которой на шаге h линейно аппроксимирует искомую функцию. Поэтому метод Эйлера получил еще название метода ломаных.

В методе Эйлера наклон касательной в пределах каждого шага считается постоянным и равным значению производной в начальной точке шага x_i. В действительности производная, а, значит, и тангенс угла наклона касательной к кривой y(x) в пределах каждого шага меняется. Поэтому в точке x_i+h наклон касательной не должен быть равен наклону в точке x_i. Следовательно, на каждом шаге вносится погрешность.

Первый отрезок ломаной действительно касается искомой интегральной кривой y(x) в точке (x₀,y₀). На последовательных же шагах касательные проводятся из точек (x_i,y_i), подсчитанных с погрешностью. В результате с каждым шагом ошибки накапливаются.

Основной недостаток метода Эйлера - систематическое накопление ошибок. Поэтому метод Эйлера рекомендуется применять для решения дифференциальных уравнений при малых значениях шага интегрирования h.

Метод Рунге - Кутта 2-го порядка (модифицированный метод Эйлера)

Отбросим в (12.4) члены ряда, содержащие h₃, h₄, h₅:.

Тогда

(12.6)

Чтобы сохранить член ряда, содержащий h², надо определить вторую производную y"(x_i).Ее можно аппроксимировать разделенной разностью 2-го порядка

Подставляя это выражение в (12.6), получим

Окончательно, модифицированная или уточненная формула Эйлера имеет вид:

(12.7)

Как видно, для определения функции y(x) в точке i+1 необходимо знать значение правой части дифференциального уравнения f(x_i+1, y_i+1) в этой точке, для определения которой необходимо знать предварительное значение y_i+1.

Для определения предварительного значения y_i+1 воспользуемся формулой Эйлера. Тогда все вычисления на каждом шаге по модифицированной или уточненной формуле Эйлера будем выполнять в два этапа:

На первом этапе вычисляем предварительное значение по формуле Эйлера

На втором этапе уточняем значение y=_i+1 по модифицированной или уточненной формуле Эйлера

Точность метода определяется отброшенными членами ряда Тейлора (12.4), т.е. точность уточненного или модифицированного метода Эйлера на каждом шаге .

Рассмотрим геометрический смысл модифицированного метода Эйлера.

Так как

то модифицированную формулу Эйлера можно представить в виде:

где

- тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(х) в начальной точке каждого шага,

- тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(х) в конечной точке каждого шага.

Рис. 12.12. Геометрический смысл модифицированного метода Эйлера

Здесь

P₁ - накопленная ошибка в (i+1)^й точке по методу Эйлера,

P₂ - накопленная ошибка в (i+1)^й точке по модифицированному методу Эйлера.

Как видно из рис.12.11, в первой половине каждого шага, то есть на участке [x_i, x_i+h/2], искомая функция y(x) аппроксимируется прямой, которая выходит из точки (x_i, y_i) под углом, тангенс которого

Во второй половине этого же шага, т.е. на участке [x_i + h/2,x_i + h], искомая функция y(x) аппроксимируется прямой, которая выходит из точки с координатами

под углом, тангенс которого

В результате в модифицированном методе Эйлера функция у(х) на каждом шаге аппроксимируется не одной прямой, а двумя.

Алгоритм модифицированного метода Эйлера можно построить в виде двух программных модулей: основной программы и подпрограммы МELER, реализующей метод (рис. 12.13).

Рис. 12.13. Схема алгоритма модифицированного метода Эйлера

Здесь

(x,y)-при вводе начальная точка, далее текущие значения табличной функции,

h-шаг интегрирования дифференциального уравнения,

b-конец интервала интегрирования.