Дана система нелинейных уравнений
| (10.5) |
или
Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор 
, удовлетворяющий систему (10.5) с точностью 
.
Метод Ньютона наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений. Он обеспечивает более быструю сходимость по сравнению с методом итераций.
В основе метода Ньютона лежит идея линеаризации всех нелинейных уравнений системы (10.5). Сообщим всей системе (10.5) малые приращения hj и разложим каждое уравнение системы (10.5) в ряд Тейлора:
| (10.6) |
где
hj- приращение по каждой xj;
Ri - остаточные нелинейные члены второго и более высоких порядков каждого ряда Тейлора.
Если приращения hj таковы, что переменные xj принимают значения близкие к корню, то будем считать, что левые части уравнений системы (10.6) обращаются в нули. Тогда отбросив Ri сведем задачу решения системы нелинейных уравнений (10.5) к решению системы линейных уравнений, в которой неизвестными являются приращения hj, 
| (10.7) |
Система (10.7) – система линейных уравнений с неизвестными hj, 
. Запишем (10.7) в матричной форме
где
| (3.3) |
| (10.7) |
Матрица А, составленая из частных производных 
; называется матрицей Якоби или Якобианом.
Метод Ньютона состоит из двух этапов:
На первом этапе реализации метода Ньютона необходимо построить систему (11.3).
На втором этапе, начиная с начальной точки 
, необходимо решать систему (11.3) на каждом шаге итерационного процесса поиска методом Гаусса. Найденные значения приращений hj используются как поправки к решению, полученному на предыдущем шаге поиска, т.е.
| (10.8) |
или
Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие
| (10.9) |
по всем приращениям одновременно.
Определение матрицы Якоби
В методе Ньютона на каждом шаге итерационного процесса поиска необходимо формировать матрицу Якоби, при этом каждый элемент матрицы можно определить:
- аналитически, как частную производную
, - методом численного дифференцирования, как отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е.
В результате частная производная 
по первой координате х1 определится как
а частная производная по координате хj определится как
где 
.
Метод Ньютона имеет преимущества по сравнению с другими методами. Но для метода Ньютона так же существует проблема сходимости, с увеличением числа неизвестных область сходимости уменьшается, а в случае больших систем, сходимость обеспечивается если начальная точка близка к искомому решению.
На рисунке 10.4 представлена укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Ньютона. На рисунках 10.5 и 10.6 представлены схемы алгоритмов метода Ньютона с различными способами определения матрицы Якоби.
Рис. 10.4. Блок-схема алгоритма метода Ньютона
Рис. 10.5. Схема алгоритма метода Ньютона (аналитическое определение матрицы Якоби)
Рис. 10.6. Схема алгоритма метода Ньютона (определение матрицы Якоби с помощью численного дифференцирования)
