Методы решения многокритериальных задач оптимизации

На практике такие задачи возникают, когда проектируемый объект не может быть описан однокритериальной зависимостью, или объединить отдельные критерии в единый критерий не представляется возможным. Такое объединение критериев в единый критерий применяется, и оно будет рассмотрено ниже. Но это объединение, как правило, бывает формальным, искусственным. С математической точки зрения не существует идеального способа, метода решения таких задач. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Рассмотрим некоторые методы решения многокритериальных задач оптимизации.

3.4.1. Метод поиска Парето-эффективных решений*

Рассмотрим его суть на примере использования двух критериев оптимизации. Критерии при использовании данного метода являются равнозначными.

Пусть имеется множество вариантов решения. По каждому из вариантов определены значения всех критериев. Представим множество оценок вариантов решения в пространстве критериев (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Иллюстрация поиска Парето-эффективных решений

На рис. 3.12 приняты следующие обозначения: K ₁ и K ₂ – критерии оценки вариантов решения; Y = { y ₁, y ₂, …, y_m } – множество оценок альтернативных вариантов решения; K ₁₁, K ₁₂, …, K _{1 m} – значения первого критерия для 1, 2, …, m варианта решения; K ₂₁, K ₂₂, …, K _{2 m} – значения второго критерия для 1, 2, …, m варианта решения; P (Y) – множество эффективных оценок решений Парето.

Правило. Множество эффективных оценок Парето P (Y) представляет собой «северо-восточную» границу множества Y без тех его частей, которые параллельны одной из координатных осей или лежат в «глубоких» провалах.

Для случая, изображенного на рис. 3.12, эффективные оценки Парето состоят из линии de и точек кривой bc, исключая точку c.

Преимущества метода:1) критерии равнозначны; 2) метод математически объективен.

Недостаток метода: одно окончательное решение получается только в частном случае, т. е. количество Парето-эффективных решений, как правило, более одного.

Пример. Имеется 10 вариантов металлорежущих станков, среди которых для проектируемого участка механического цеха необходимо выбрать наилучший.

Станки оценены экспертами по двум показателям (критериям): производительности (П) и надежности (Н). Оценивание производилось по 11-бальной шкале от 0 до 10. Результаты оценки станков приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Экспертные оценки станков по критериям
производительности и надежности

Представим множество оценок вариантов металлорежущих станков в пространстве критериев (рис. 3.13).

Парето-эффективными решениями в данном случае являются варианты станков С₅, С₇ и С₉.

Рис. 3.13. Пример поиска Парето-эффективных решений