Этим методом вручную решаются простые задачи оптимизации. Математические модели в этих задачах не должны быть сложными, поскольку в противном случае требуется много времени для их решения.
Пример №1. Однопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.
Дан один критерий у. Объект (процесс) описан уравнением (уравнениями), включающими один искомый параметр y = f (x). Имеется система ограничений:
1) х ³ а 1; 2) а 2 £ х £ b 1.
Необходимо найти оптимальное значение параметра хопт, обращающее целевую функцию в максимум или минимум.
Задача решается в два этапа:
1) построение области допустимых решений (ОДР);
2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.
При построении ОДР на первом этапе рассматривается система ограничений. Все ограничения должны быть выполнены. Выполнение первого ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться правее а 1 (рис. 3.1). Выполнение второго ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться в интервале (на отрезке) [ a 2, b 1].
Рис. 3.1. Схема построения области допустимых решений
На втором этапе применяют метод перебора. Суть его заключается в следующем. В пределах ОДР через определенный интервал h выбирается ряд значений параметра х. В рассматриваемом случае ОДР разбита на четыре отрезка, и выбрано пять значений параметра х. Для этих значений рассчитываются соответствующие значения целевой функции. Среди них находят минимальное (максимальное) значение. Значение параметра, обращающее целевую функцию в минимум (максимум), является оптимальным. Если в рассматриваемом случае целевая функция стремится к минимуму, то х опт = х 3, если к максимуму, то х опт = х 5.
При решении практических задач оптимизации всегда следует обращать внимание на вид целевой функции. Это значительно упрощает работу как при решении задач вручную с применением графо-аналитического метода, так и при решении с использованием компьютерных программ.
Рассмотрим частный случай, когда целевая функция линейна (рис. 3.2). В данном случае на втором этапе вычисляют значения целевой функции только на границах ОДР. Эти значения сравнивают и выбирают наименьшее или наибольшее. Если целевая функция стремится к минимуму, то х опт = b 1, если к максимуму, то х опт = a 2.
Рис. 3.2. Пример задачи с линейной целевой функцией
Пример №2. Многопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.
Дан критерий у = х 2 / х 1. Требуется найти х 1опт, и х 2опт, обращающие в максимум целевую функцию у = х 2 / х 1 ® max при следующих ограничениях:
1 £ х 1 £ 8, 2 £ х 2 £ 12, х 1 × х 2 ³ 10.
Задача решается в два этапа:
1) построение ОДР;
2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.
Построение ОДР в данной задаче в отличие от задачи однопараметрической заключается в том, что работать нужно в двух направлениях. В итоге в плоскости х 10 х 2 ОДР будет представлять собой многогранник (рис. 3.3).
На втором этапе необходимо вычислить значения целевой функции в пределах ОДР. В данном примере искомая точка, определяющая оптимальные значения искомых параметров, находиться на границе ОДР:
х 1опт = 1, х 2опт = 12.
Если х 2 / х 1 ® min, то х 1опт = 8, х 2опт = 2.
Рис. 3.3. Область допустимых решений для двухпараметрической
однокритериальной задачи оптимизации
