Графо-аналитический метод решения задач математического программирования

Этим методом вручную решаются простые задачи оптимизации. Математические модели в этих задачах не должны быть сложными, поскольку в противном случае требуется много времени для их решения.

Пример №1. Однопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.

Дан один критерий у. Объект (процесс) описан уравнением (уравнениями), включающими один искомый параметр y = f (x). Имеется система ограничений:

1) х ³ а ₁; 2) а ₂ £ х £ b ₁.

Необходимо найти оптимальное значение параметра х_опт, обращающее целевую функцию в максимум или минимум.

Задача решается в два этапа:

1) построение области допустимых решений (ОДР);

2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

При построении ОДР на первом этапе рассматривается система ограничений. Все ограничения должны быть выполнены. Выполнение первого ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться правее а ₁ (рис. 3.1). Выполнение второго ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться в интервале (на отрезке) [ a ₂, b ₁].

 

Рис. 3.1. Схема построения области допустимых решений

 

На втором этапе применяют метод перебора. Суть его заключается в следующем. В пределах ОДР через определенный интервал h выбирается ряд значений параметра х. В рассматриваемом случае ОДР разбита на четыре отрезка, и выбрано пять значений параметра х. Для этих значений рассчитываются соответствующие значения целевой функции. Среди них находят минимальное (максимальное) значение. Значение параметра, обращающее целевую функцию в минимум (максимум), является оптимальным. Если в рассматриваемом случае целевая функция стремится к минимуму, то х _опт = х ₃, если к максимуму, то х _опт = х ₅.

При решении практических задач оптимизации всегда следует обращать внимание на вид целевой функции. Это значительно упрощает работу как при решении задач вручную с применением графо-аналитического метода, так и при решении с использованием компьютерных программ.

Рассмотрим частный случай, когда целевая функция линейна (рис. 3.2). В данном случае на втором этапе вычисляют значения целевой функции только на границах ОДР. Эти значения сравнивают и выбирают наименьшее или наибольшее. Если целевая функция стремится к минимуму, то х _опт = b ₁, если к максимуму, то х _опт = a ₂.

 

Рис. 3.2. Пример задачи с линейной целевой функцией

 

Пример №2. Многопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.

Дан критерий у = х ₂ / х ₁. Требуется найти х _1опт, и х _2опт, обращающие в максимум целевую функцию у = х ₂ / х ₁ ® max при следующих ограничениях:

1 £ х ₁ £ 8,       2 £ х ₂ £ 12,     х ₁ × х ₂ ³ 10.

Задача решается в два этапа:

1) построение ОДР;

2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

Построение ОДР в данной задаче в отличие от задачи однопараметрической заключается в том, что работать нужно в двух направлениях. В итоге в плоскости х ₁0 х ₂ ОДР будет представлять собой многогранник (рис. 3.3).

На втором этапе необходимо вычислить значения целевой функции в пределах ОДР. В данном примере искомая точка, определяющая оптимальные значения искомых параметров, находиться на границе ОДР:

х _1опт = 1, х _2опт = 12.

Если х ₂ / х ₁ ® min, то х _1опт = 8, х _2опт = 2.

 

Рис. 3.3. Область допустимых решений для двухпараметрической
однокритериальной задачи оптимизации