Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т. д.).
Итак, на систему, находящуюся в состоянии S i, действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит переход системы из состояния S i в состояние S j. На графе состояний этот переход обозначается дугой со стрелкой S i ® S j).
Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности потока событий, который переводит систему по данной дуге из состояния S i в S j. Такой граф называется размеченным. Для примера выше размеченный граф приведен на рис. 4.3.
| Рис. 4.3. Размеченный граф состояний системы: l – интенсивность потока отказов; m – интенсивность восстановлений |
Предположим, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т. е. ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.
Пусть система находится в состоянии S 0. В состояние S 1 ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна
l01 = 1/ Т ср.раб.1, ед. времени – 1,
где Т ср.раб.1 – среднее время безотказной работы первого станка.
Из состояния S 1 в S 0 систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна
m10 = 1/ Т ср.рем.1, ед. времени – 1,
где Т ср.рем.1 – среднее время ремонта первого станка.
Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем дугам графа, после чего строится математическая модель данного процесса.
Пусть рассматриваемая система S имеет n возможных состояний
S 1, S 2,…, S n. Вероятность i -го состояния р i (t) – это вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии S i. Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:
.
При t ® ¥ вероятности состояний р 1(t), р 2(t), … могут также стремиться к каким-либо пределам. Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний
где n – конечное число состояний системы.
Финальная вероятность состояния Si – это среднее относительное время пребывания системы в i -м состоянии. Очевидно, что
.
Например, система S имеет три состояния S 1, S 2 и S 3. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S 1, 3/10 – в состоянии S 2 и 5/10 – в состоянии S 3.
Для нахождения всех вероятностей состояний р i (t) как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова, т. е. уравнения особого вида, в которых неизвестными функциями являются финальные вероятности состояний.
Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния р i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i -е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений:
Эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием
р 0 + р 1 + р 2 + р 3 = 1
и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).
Пусть значения интенсивностей потоков равны:
l01 = l23 = 1; l13 = l02 = 2; m10 = m32 = 2; m20 = m31 = 3.
Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное условие:
;
р 0 = 6/15 = 0,4; р 1 = 3/15 = 0,2; р 2 = 4/15 @ 0,27; р 3 = 2/15 @ 0,13.
Т. е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем будет проводить 40 % времени в состоянии S 0 (оба станка исправны); 20 % в состоянии S 1 (первый станок ремонтируется, второй работает); 27 % в состоянии S 2 (второй станок ремонтируется, первый работает); 13 % в состоянии S 3 (оба станка ремонтируются).
Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.
Пусть система S в состоянии S 0 (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S 1 – доход 3 условные единицы, в состоянии S 2 – доход 5 условных единиц, в состоянии S 3 – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен
W = 0,4 ´ 8 + 0,2 ´ 3 + 0,27 ´ 5 = 5,15 условных единиц.
Станок 1 ремонтируется долю времени, равную р 1 + р 3 = 0,2 + 0,13 = 0,33. Станок 2 ремонтируется долю времени, равную р 2 + р 3 = 0,27 + 0,13 = 0,4. Есть возможность уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), на что будет затрачена определённая сумма. Возникает задача оптимизации. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Решение задачи сводится к решению системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными.
