Параметры качества математических моделей

К математическим моделям предъявляются основные требования универсальности, точности, адекватности, экономичности.

Универсальностьматематической модели характеризует полноту отражения в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражают не все, а лишь некоторые свойства реального объекта. Например, формулы для сил резания не учитывают температуру окружающего воздуха, влажность, экономические параметры и т. д.

Точностьматематической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Пусть отражаемые в математической модели свойства объекта оцениваются вектором выходных параметров Y = (y ₁, y ₂, … y_m). Тогда относительная погрешность математической модели E_i по i -му параметру равна:

,

где y_i ^* – параметр, рассчитанный с помощью модели.

По этой формуле рассчитываются погрешности для каждого выходного параметра, в результате получается вектор погрешностей E = (E ₁, E ₂, … E_m). В целом для математической модели погрешность оценивается следующим образом:

.

Адекватностьматематической модели – это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.

В силу того, что выходные параметры модели являются функцией Y = F (X, Q) от параметров внутренних и входных, то и точность модели зависит от их значений. Адекватность модели имеет место в ограниченной области изменения внутренних и входных параметров. Если обозначить область адекватности как ОА, то

где d – некоторое заданное число.

Экономичностьматематической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то её экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера. Так как указанные величины определяются характеристиками конкретного компьютера, использовать их для оценки экономичности математической модели не вполне корректно. Поэтому, для оценки экономичности самой математической модели используют другие величины:

- среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к математической модели;

- размерность системы уравнений в математической модели;

- количество используемых в модели внутренних параметров и т. д.

Требования высокой степени универсальности, точности, широкой области адекватности математической модели, с одной стороны, и высокой её экономичности, с другой стороны, противоречивы. Поэтому компромиссные решения определяются решаемой задачей.

Математические модели можно охарактеризовать и целым ряд других свойств, среди которых целесообразно выделить следующие:

- вычислимость – возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы);

- модульность – соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы);

- алгоритмизируемость – возможность разработки соответсвующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ;

- наглядность – удобное визуальное восприятие модели.

- целенаправленность – модель всегда отображает некоторую систему, т. е. имеет цель;

- конечность – модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

- упрощенность – модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

- доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

- информативность – модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и должна давать возможность получить новую информацию;

- сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

- полнота – в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

- устойчивость – модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже она вначале является неустойчивой;

- целостность – модель реализует некоторую систему (т. е. целое);

- замкнутость – модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений;

- адаптивность – модель может быть приспособлена к различным входным параметрам, воздействиям окружения;

- управляемость (имитационность) – модель должна иметь хотя бы один параметр, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях;

- эволюционируемость – возможность развития моделей (предыдущего уровня).

 

Исследование операций

Введение. Математическое программирование.

Исследование операций– прикладное направление кибернетики, используемое для решения организационных и экономических задач (например, задач распределения ресурсов, управления запасами, упорядочения и согласования и др.). Главный метод – системный анализ целенаправленных действий (операций) и объективная (в частности, количественная) сравнительная оценка возможных результатов этих действий. Исследование операций основывается на аппарате математического программирования, теории массового обслуживания, математической статистике, теории игр и др.

Данное научное направление сформировалось во время второй мировой войны, прежде всего для планирования военных операций и их обеспечения, откуда и появилось название «исследование операций».

Математическое программирование – область мате­матики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограниче­ниями, т. е. задач на экстремум функции многих пере­менных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях возможностей процесса, называют целевой функцией, показателем эффективности или критерием опти­мальности. Возможности процесса формализуются в виде системы ограничений.

Модель задачи математического программирования включает:

- совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);

- целевую функцию (функцию цели, показатель эф­фективности, критерий оптимальности, функционал зада­чи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилуч­ший вариант из множества возможных. Наилучший ва­риант доставляет целевой функции экстремальное значе­ние. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень об­служивания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;

- набор условий или ограничений. Эти условия следуют из огра­ниченности ресурсов предприятия, из особенностей производственных и технологических процессов. Ограниченными могут быть материальные, финансовые и трудовые ресурсы, возможности технического, техноло­гического и научного потенциала.

Математически ограничения выражаются в виде уравне­ний и неравенств. Их совокупность образует область до­пустимых решений. План, удовлетворяющий системе ограничений зада­чи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, на­зывается оптимальным. Оптимальное решение не обяза­тельно является единственным, возможны случаи, когда оно не су­ществует или имеется бесчисленное множество оптимальных решений.

Задача математического программированияформулируется следующим образом: найти значения переменных x ₁, x ₂,…, x _n, доставляющие максимум (минимум) заданной целевой функции y = f (x ₁, x ₂,…, x _n) при условиях:

g _j(x ₁, x ₂, …, x _n) £ (³, =) b _j, (j = ).

Различают два вида задач математического программирования:

- задачи линейного программирования (целевая функция у и ограничения g_i линейны относительно переменных х).

- задачи нелинейного программирования (целевая функция у и (или) ограничения g_i имеют разного рода нелинейности).