Перемещения при плоском изгибе характеризуются прогибом y и углом поворота поперечного сечения φٕ, величины которых определяются из универсального уравнения изогнутой оси балки:
,
где y 0, φ0 – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;
a, b –расстояние от начала координат до сечения, в котором
приложен внешний силовой фактор (F и m или опорная реакция);
с – расстояние от начала координат до начала приложения
распределенной нагрузки;
d – расстояние от начала координат до конца приложения
распределенной нагрузки (начала приложения компенсирующей распределенной нагрузки q к);
x – абсцисса рассматриваемого сечения.
При использовании универсального уравнения начало координат всегда выбирается на левом конце балки. Это уравнение получено путем интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки:
где 
изгибающий момент в сечении x.
Поэтому знаки у слагаемых, включающих F, m и q, будут определяться по правилу знаков для изгибающего момента при рассмотрении равновесия левой части балкой. По этой же причине в уравнения включаются только те силовые факторы, которые находятся слева от сечения с координатой x. Если распределенная нагрузка q не действует до правого конца балки, ее действие надо продолжить до этого конца и, соответственно, приложить равнозначную компенсирующую нагрузку q к, которая учитывается в уравнении с противоположным основной q знаком. На эту особенность надо обратить внимание, так как при построении эпюр Q и M такой необходимости не возникало. Начальные параметры y 0 и φ0 определяются из условия, что на опорах прогибы равны нулю.
Для проверки правильности построения упругой линии балки можно использовать соответствие знака кривизны упругой линии и знака 
. Если 
>0, то на этом участке выпуклость упругой линии будет направлена вниз, и наоборот.
Пример 5
Определить прогибы в характерных сечениях балки (рисунок 21) и построить ее изогнутую ось.
Построение эпюр Q и M, а также подбор сечения балки проделайте самостоятельно. Принимается двутавр № 16, 
, 
.
Начало координат выбираем в крайнем левом сечении балки (на опоре С). Балка имеет три участка нагружения: I, II, III (рисунок 21). Распределенная нагрузка q действует только на участке II. Доводим распределенную нагрузку q до конца балки и на этом участке III показываем компенсирующую (уравновешивающую) нагрузку.
Составим уравнение прогибов:
.
Рассматриваемая балка имеет три участка нагружения. В уравнении прогибов отмечены участки, на которых учитывается каждый из силовых факторов. Слагаемые уравнения от соответствующего внешнего фактора имеют такой же знак, как и при определении изгибающего момента.
Начальные параметры y 0 и φ0 определим из условий, что на опорах балки прогибы равны нулю.
Рисунок 21 − Определение перемещений для двухопорной балки
При x = 0 
.
При x = 3 м 
,
откуда 
а 
Положительное значение 
откладывается против хода часовой стрелки.
Определим прогибы в некоторых сечениях балки.
При 
, 
Величину прогиба при 
определите самостоятельно (получится
).
В межопорной части балки максимальный прогиб будет примерно посередине пролета.
При х = 1,5 м 
,
При х =4,0м 
.
.
В некоторых случаях начало координат может быть выбрано на свободном конце балки. В этом случае 
и 
Начальные параметры y 0 и φ0 определяют из условий, что на опорах балки прогибы равны нулю. Если начало координат в опорном защемлении, то 
и 
Задача 4
Плоский изгиб (консольная балка)
Для балки, изображенной на рисунке 22, данные к эадаче приведены в таблице 7, необходимо:
1. Определить опорные реакции.
2. Написать выражения изгибающего момента М и поперечной
силы для Q каждого участка в общем виде.
3. Построить эпюры М и Q.
4. Подобрать балку круглого сечения из стали 20.
Таблица 7
Данные к задаче 4
| Номер | Схема | l | а 1/ а | М | F | q |
| строки | По рис.5 | М | кНм | кН | кН/м | |
| 1 | 1 | 1,1 | 1 | 10 | 10 | 1 |
| 2 | 2 | 1,2 | 2 | 20 | 20 | 2 |
| 3 | 3 | 1,3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 1,4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 1,5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 1,6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 1,7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 1,8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 1,9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 10 | 2 | 10 | 15 | 15 | 10 |
| Е | Д | Б | Г | В | Е |
Задача 5
Плоский изгиб (консольная балка). Определение перемещений
Используя результаты, полученные в задаче 6, для балки, изображенной на
рисунке 22, необходимо построить эпюру прогибов.
Рисунок 22 − Схемы балок к задаче 4
Задача 6
Плоский изгиб (двухопорная балка)
Для балки, изображенной на рисунке 23, необходимо:
1. Определить опорные реакции.
2. Написать выражения изгибающего момента М и поперечной силы Q для каждого участка в общем виде.
3. Построить эпюры М и Q.
4. Подобрать балку двутаврового поперечного сечения при [σ]=160 МПа.
Если по данным задачи опоры оказываются в одной точке, следует вместо
a 1 взять 0,5 a 1.
Таблица 8
Данные к задаче 8
| Номер | Схема | l | a 1 / а | a 2 / а | M | F | q |
| строки | по рис. 6 | м | кНм | кН | кН/м | ||
| 1 | 1 | 6 | 1 | 9 | 10 | 10 | 1 |
| 2 | 2 | 7 | 2 | 8 | 20 | 20 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 7 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 6 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 10 | 10 | 10 | 10 | 15 | 15 | 10 |
| Е | Д | Б | В | Г | Д | Е |
Задача 7
Плоский изгиб (двухопорная балка). Определение перемещений
Используя результаты, полученные в задаче 8, для балки,
изображенной на рисунке 23, необходимо построить эпюру прогибов.
Рисунок 23 − Схемы балок к задаче 6
