На растяжение и сжатие
Существует множество задач, для решения которых одних уравнений равновесия недостаточно, чтобы определить внутренние усилия в стержнях или отдельных частях стержней. Для их определения требуются дополнительные уравнения, которые можно получить только из рассмотрения деформаций. Такие задачи называются статически неопределимыми. Уравнения, получаемые из условий деформаций, называются уравнениями перемещений или уравнениями совместности деформаций. Они отличаются от уравнений статики тем, что в них, кроме усилий и геометрических размеров, входит и модуль продольной упругости материала.
Статически неопределимые системы имеют «лишние» связи: внешние (опорные) или внутренние. Будем рассматривать только внешние статически неопределимые системы.
Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных реакций (связей) и числом независимых уравнений статики. Для раскрытия статической неопределимости к уравнениям статики нужно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз статически неопределима система. Эти дополнительные уравнения составляются из условий совместности деформаций.
Существуют несколько методов раскрытия статической неопределимости. Наиболее простой – метод сравнения перемещений (деформаций). Суть этого метода заключается в сравнении перемещений (деформаций) от заданной нагрузки и от реакции опоры в одностержневых системах и сопоставлении деформаций стержней в многостержневых системах. Раскрытие статической неопределимости для одиночных стержней, работающих на растяжение-сжатие, кручение и изгиб, однотипно. Для ведения расчета выбирается основная система, которая получается из заданной путем удаления лишних связей и, следовательно, является статически определимой (основная система, загруженная внешними силами и неизвестной реакцией, соответствующей удаленной связи, называется эквивалентной системой). Затем составляется дополнительное уравнение, которое характеризует перемещение (деформацию) в сечении, где удалена связь.
Пример 2
Раскрыть статическую неопределимость ступенчатого стержня, изготовленного из стали Ст3 (рисунок 6, а) и построить эпюру продольных сил. Модуль упругости материала стержня Е = 200 ГПа = 2∙105 МПа.
Решение.
Стержень имеет две неизвестные опорные реакции С и В (направляем произвольно). Уравнение статики можно составить только одно:
Σ Y = С + F 2 – F 1 + В = 0.
Таким образом, система один раз статически неопределима. Основную систему получим, удалив связь, принадлежащую, например, опоре В. Эквивалентная система показана на рисунке 7, б.
В сечении В заданной системы перемещение равно нулю. Значит, и в эквивалентной системе должно выполняться это условие δ B = 0. Это и есть дополнительное уравнение. Для раскрытия его используем принцип независимости действия сил. Перемещение сечения В равно алгебраической сумме деформации всех участков стержня, вычисленных от каждой силы в отдельности.
Рассматривая эквивалентную систему, заметим, что реакция В сжимает все участки стержня, сила F 1 растягивает участки II, III и IV, а сила F 2 сжимает участок IV. Поэтому уравнение совместности деформаций имеет вид:
Так как площади поперечных сечений участков стержня равны соответственно:
А 1 = А 2 = 20 см2 , а А 3 = А 4 = 10 см2 ,
то в уравнении примем А = А 3 = А 4 = 10 см2 и 2∙ А = А 1 = А 2 = 20 см2 .
Умножая левую и правую части уравнения на Е ∙ А, получим
Подставляя в уравнение значения длин участков и внешних сил, получим:
– B ∙2,0 + (50 + 120 – 48) = 0,
B ∙2,0 = 122
откуда В = 61кН (направление совпадает с выбранным).
Опорную реакцию С определим из уравнения статики:
С + 60 – 100 + 61 = 0,
откуда С = – 21 кН (направление обратное).
Эпюра продольных сил N, построенная методом сечений, показана на
рис. 6, в.
Опорную реакцию С можно определить аналогично реакции В, а
уравнение статики – использовать для проверки правильности вычислений.
Проделайте это самостоятельно.
Если рассматриваемый стержень вследствие неточности изготовления не будет достигать опоры на величину Δ = 0,3 мм (рисунок 6, г), то дополнительное уравнение примет вид
δ B = Δ.
Δ.
Е ∙ А ∙∆
– B ∙2,0 + (50 + 120 – 48) = Е ∙ А ∙∆,
– B ∙2,0 + 122 = Е ∙ А ∙∆,
где Е = 2∙1011Па, А = 10∙10–4 м2, Δ = 0,3∙10–3 м.
Вычислим Е ∙ А ∙∆ = 2∙1011∙10∙10–4 ∙10–3 ∙0, 3∙10–3 = 60 кНм,
B ∙2,0 = 122 – 60 = 62,
Итак, реакция в опоре В при наличии зазораΔ = 0,3 мм равна
B = 31кН
На рисунке 6, д показана эпюра N при Δ = 0,3 мм.
Рисунок 6 − Эпюры нормальных сил N для статически
неопределимого стержня
Для неточно изготовленного стержня, имеющего зазор Δ = 0,3 мм с опорой B (рисунок 6, г), определим значения нормальных напряжений σ, относительных деформаций ε, абсолютных деформаций ∆ l и перемещений δ.
Нормальные напряжения σ:
на первом участке
,
на втором участке
,
на третьем участке
,
на четвертом участке
.
Вычислим относительные продольные деформации ε х i по формуле
для всех участков стержня:
на первом участке
ε х 1 
,
на втором участке
ε х 2 
,
на третьем участке
ε х 3 
,
на четвертом участке
ε х 4 
.
Абсолютные деформации стержня ∆ l i определим по формуле:
∆ l i = ε х i ∙ li
для всех участков стержня:
на первом участке
∆ l 1 = ε х 1 ∙ l 1 = – 7,75∙10–5∙0,6∙103 = – 0,0465 мм
на втором участке
∆ l 2 = ε х 2 ∙ l 2 = 17,25∙10–5∙1,0∙103 = 0,1725 мм,
на третьем участке
∆ l 3 = ε х 3 ∙ l 3 = 34,5 ∙ 10–5∙0,4∙103 = 0,138 мм,
на четвертом участке
∆ l 4 = ε х 4 ∙ l 4 = 4,5 ∙ 10–5∙0,8∙103 = = 0,036 мм.
Определим перемещения δ на границах участков, используя тот факт, что перемещение δ является интегральной функцией по отношению к относительной продольной деформации ε х . Эпюру перемещение δ начинаем строить от заделки. В заделке перемещение δзадел = 0. Перемещение любого сечения стержня равно сумме деформаций участков, расположенных между сечением и опорой (заделкой), т.е. сумме площадей эпюры ε х, расположенных между рассматриваемым сечением и заделкой.
Перемещение точки D обусловлено деформацией участка IV:
δ D = ∆ l 4 = 0,036 мм,
Перемещение точки M складывается из деформаций участков IV и III:
δ M = ∆ l 4+∆ l 3= 0,036 + 0,138 = 0,174 мм,
Перемещение точки K складывается из деформаций участков IV, III и II:
δ K = ∆ l 4+∆ l 3 +∆ l 2= 0,036 + 0,138 + 0,1725 = 0,3465 мм,
Перемещение точки B складывается из деформаций участков IV, III, II и I:
δ B = ∆ l 4+∆ l 3 +∆ l 2 + ∆ l 1 = 0,036 + 0,138+ 0,1725 – 0,465 = 0,3 мм.
Точка B опускается по вертикали вниз на 0, 3 мм, перемещение равно величине зазора ∆.
Задача 2. Растяжение и сжатие
(статически неопределимая система)
Произвести расчет ступенчатого стержня (рисунок 7) на прочность и жесткость. Стержень находится под действием сил F. Материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ] = 160 МПа и модулем продольной упругости Е = 2∙105 МПа, А – площадь поперечного сечения. Данные к задаче приведены в таблице 2. Расчетные схемы стержней приведены на рисунке 8. Собственный вес стержня не учитывать.
Необходимо:
1) определить степень статической неопределимости системы;
2) раскрыть статическую неопределимость системы (определить опорные реакции);
3) вычислить продольные силы N на участках стержня и построить эпюру N;
4) вычислить нормальные напряжения σ на участках стержня и построить эпюру σ;
5) вычислить относительные продольные деформации ε участков стержня и построить эпюру ε;
6) вычислить абсолютные продольные деформации стержня ∆ li участков стержня;
7) построить эпюру перемещений δ;
8) проверить условие прочности:
σmax = 
≤ [σ].
Таблица 2
Данные к задаче 2
| Номер строки | Схема по рис.2 | Площадь поперечного cечения | Нагрузка | Длины участков | Зазор | ||||
| A 1, | A 2, | F 1, | F 2 , | а, | b, | c, | ∆, | ||
| см2 | см2 | кН | кН | м | м | м | мм | ||
| 1 | 1 | 11 | 22 | 110 | 100 | 2,1 | 3,1 | 3,6 | 0,5 |
| 2 | 2 | 12 | 24 | 120 | 110 | 2,2 | 3,2 | 3,7 | 0,4 |
| 3 | 3 | 13 | 26 | 130 | 120 | 2,3 | 3,3 | 3,8 | 0,3 |
| 4 | 4 | 14 | 28 | 140 | 130 | 2,4 | 3,4 | 3,9 | 0,2 |
| 5 | 5 | 15 | 30 | 150 | 140 | 2,5 | 3,5 | 4 | 0,3 |
| 6 | 6 | 16 | 32 | 160 | 150 | 2,6 | 3,6 | 4,1 | 0,1 |
| 7 | 7 | 17 | 34 | 170 | 160 | 2,7 | 3,7 | 4,2 | 0,2 |
| 8 | 8 | 18 | 36 | 180 | 170 | 2,8 | 3,8 | 4,3 | 0,3 |
| 9 | 9 | 19 | 38 | 190 | 180 | 2,9 | 3,9 | 4,4 | 0,4 |
| 0 | 10 | 20 | 40 | 200 | 190 | 3 | 4 | 4,5 | 0,5 |
| Б | Д | Г | В | Д | Е | А | А | ||
Рисунок 7 − Схемы к задаче 2
КРУЧЕНИЕ
Основные понятия
При кручении в поперечном сечении стержня возникает крутящий момент МК. Нагрузкой при кручении являются скручивающие моменты mi, действующие относительно продольной оси стержня. Крутящий момент определяется методом сечений и равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, действующих на рассматриваемую часть стержня: М к = ∑ m i. Момент считается положительным, если он направлен против хода часовой стрелки (при взгляде со стороны сечения).
При кручении в поперечном сечении стержня возникают касательные напряжения τ. Касательные напряжения τ распределяются по площади круглого поперечного сечения стержня неравномерно, нарастая от оси вала к поверхности по линейному закону, наибольшие напряжения возникают по контуру сечения. Закон распределения напряжений τ вдоль произвольного радиуса в сечении изображен на рисунке 8. Во всех точках окружности радиуса ρ напряжение τ = const и направлено по касательной к этой окружности [5]. Напряжения τ в сечении сводятся к крутящему моменту М к (рисунок 8):
.
Формула для определения τ имеет вид:
где ρ – расстояние от центра вала до рассматриваемой точки;
I ρ – полярный момент инерции сечения, м4, для сплошного круглого сечения сечения (приложение 2):
– крутящий момент, Н·м.
Рисунок 8 − Распределение касательных напряжений
в сечении при кручении
Условие прочности имеет следующий вид:
,
где 
– геометрическая характеристика прочности при кручении [5], называемая полярным моментом сопротивления, м3:
[τк] – допускаемое напряжение на кручение, Па.
Для сплошного круглого сечения (рис. 8)
.
Рисунок 9 − К определению полярного момента сопротивления Wр
для сплошного круглого сечения
Для полого толстостенного цилиндра (рис. 10)
.
Рисунок 10 − К определению полярного момента сопротивления W р
для полого толстостенного цилиндра
Деформация при кручении характеризуется углом закручивания на единицу длины стержня θ:
.
Величина θ называется относительным углом закручивания и имеет размерность рад/м или град/м.
Условие жесткости имеет вид
,
где G – модуль упругости материала при сдвиге, Па.
Зависимость между модулями упругости Е и G имеет вид
,
где μ – коэффициент Пуассона;
[θ] – допускаемый относительный угол закручивания на единицу длины стержня (рад/м).
Диаметр стержня, работающего на кручение, определяется из двух условий: прочности и жесткости. Во внимание берется наибольший диаметр. Окончательное значение его принимается согласно стандарту.
Пример 3
Определить диаметры поперечных сечений участков стержня (вала) (рисунок 11, а), если [τк] = 100 МПа, G = 80 ГПа, 
. Построить эпюру углов поворота сечений φ.
Рисунок 11 − Построение эпюр крутящих моментов М к углов поворота сечений φ: а – расчетная схема; б – эпюра крутящих моментов М к;
в – эпюра углов поворота сечений φ
Должно выполняться условие равновесия ∑mх = 0:
∑mх = m1 – m2 – m3 + m4 = 2 – 1 – 4 + 3 = 0.
Для определения крутящих моментов Мк на участках стержня будем рассматривать его левую часть.
Участок I: М к1 = m1 = 2 кН·м.
Участок II: М к2 = m1 – m2 = 2 – 1 = 1 кН·м.
Значение М к3 определите самостоятельно (М к3 = – 3 кН·м).
По вычисленным значениям М к строится эпюра (рисунок 28, б).
Преобразуем условия прочности и жесткости к виду, удобному для определения диаметра стержня.
Условие прочности:
, 
.
Условие жесткости:
,
откуда
.
Вычисляем диаметр вала из условий прочности и жесткости.
На первом участке:
– диаметр вала из условия прочности
;
– диаметр вала из условия жесткости
.
Принимаем d 1 = 6 см.
На втором участке:
– диаметр вала из условия прочности
;
– диаметр вала из условия жесткости
.
Принимаем d 2 = 5 см.
Диаметр поперечного сечения на участке III рассчитайте самостоятельно (d 3 = 5,35 см, d ’3 = 6,18 см, принимаем d 3 = 7 см).
Если стержень имеет постоянное сечение, то диаметр его определяется исходя из максимального значения М к.
Определим деформации участков стержня:
.
Значения φ на других участках следующие:
.
Углы поворота характерных сечений (границ участков) равны:
.
Значение φ D определите самостоятельно (φ D = – 0,429o).
Эпюра углов поворота сечений показана на рисунке 28, в.
Вычислим максимальные напряжения на участках стержня:
Вычисленные значения диаметров участков стержня обеспечивают его прочность и жесткость.
Задача 3
