Кручение стержней с круглым сечением

Произвести расчет вала (рисунок 12), изготовленного из стали Ст3. Данные к задаче приведены в таблице 3. К валу приложены скручивающие моменты М ₁, М ₂ и М ₃, два из которых М ₁ и М ₂ известны. Необходимо:

1. Определить величину неизвестного скручивающего момента М ₃;

2. Построить эпюру крутящих моментов М _к;

3. Построить эпюру относительных углов закручивания на единицу длины стержня θ в долях G ∙I _р;

4. Определить диаметр d вала из условия прочности и округлить его до нормального размера, если допускаемое касательное напряжение на кручение [τ_к] = 100 МПа (приложение 1)

5. Определить диаметр d вала из условия жесткости, если модуль упругости материала при сдвиге G = 80 ГПа = 8∙10⁴ МПа, допускаемый

относительный угол закручивания на единицу длины стержня

6. Построить эпюру углов поворота сечений φ.

Таблица 3

Данные к задаче 3

Номер	Схема	Расстояние, м			Момент, Нм
строки	по рис. 4	а	b	с	М ₁	М ₂
1	1	1,1	1,1	1,1	1100	1100
2	2	1,2	1,2	1,2	1200	1200
3	3	1,3	1,3	1,3	1300	1300
4	4	1,4	1,4	1,4	1400	1400
5	5	1,5	1,5	1,5	1500	1500
6	6	1,6	1,6	1,6	1600	1600
7	7	1,7	1,7	1,7	1700	1700
8	8	1,8	1,8	1,8	1800	1800
9	9	1,9	1,9	1,9	1900	1900
0	10	2	2	2	2000	2000
	Е	Г	Д	В	Г	А

Рисунок 12 − Схемы к задаче 3

ИЗГИБ

Общие понятия

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. Будем рассматривать прямолинейные балки, поперечное сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии

В сопротивлении материалов различают чистый изгиб, прямой изгиб, косой изгиб. В случае, когда изгибающий момент в поперечном сечении балки является единственным силовым фактором, а все остальные равны нулю, изгиб называется чистым. Такой случай показан на рисунке 13.

Рисунок 13 − Чистый изгиб. Изгиб консольной балки

сосредоточенным моментом М

Если в поперечных сечениях наряду с изгибающим моментом М _z возникают также и поперечные силы Q_y, то будем иметь поперечный изгиб (рисунок 14).

Рисунок 14 − Плоский поперечный изгиб

Косой изгиб − изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости,

не совпадающей с главными плоскостями инерции (рисунок 15).

Рисунок 15 − Косой изгиб

Расчет на прочность

Плоским (прямым) поперечным изгибом балки называется изгиб, при котором все внешние нагрузки действуют в одной из главных плоскостей инерции балки, причем проекции внешних сил и реакций опор на ось балки равны нулю. В этом случае отличны от нуля только две из шести внутренних сил: внутренняя поперечная сила Q _y и внутренний изгибающий момент M _z _., действующий в этой же плоскости, где приложены внешние силы (рисунок 16).

Рисунок 16 − Внутренние силы в поперечном сечении балки: Q_y (х) и M_z _. (х)

Эти внутренние силы определяются методом сечений из условий статического равновесия части балки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения, под действием внешней нагрузки и искомых внутренних сил, действующих со стороны отброшенной части балки. Условия статического равновесия сводятся к двум уравнениям статики: равенстве нулю суммы проекций на ось у всех сил (Σ Y = 0) и равенстве нулю суммы моментов в сечении х всех сил (Σ m_x = 0).

Для балки (рисунок 39) поперечная сила Q_y (х) и изгибающий момент

M_z _. (х) определяются из двух уравнений статического равновесия:

Σ Y = F – q ∙ a –- Q_y (х) = 0, (1)

(2)

откуда

Q_y (х) = F – q ∙ a,

При выполнении условий (1) и (2) все остальные условия статического равновесия удовлетворяются автоматически, т. е. никаких других внутренних сил при плоском изгибе не возникнет.

Из (1) и (2) видим, что внутренняя поперечная сила Q _y (х) в сечении x численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Аналогично, внутренний изгибающий момент M_z (х) в сечении х численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для того, чтобы внутренние силы определялись однозначно и независимо от того, равновесие какой части балки рассматривается, вводят правило знаков для Q_y (х) и M_z (х).

Если внешняя сила (F, q) стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести сечения x по ходу часовой стрелки, то ее вклад во внутреннюю силу Q _y (х) положителен, если против хода часовой стрелки – отрицателен (рисунок 17).

Рисунок 17 − Определение знака поперечной силы Q_y (х)

Если внешняя сила (F, q, M) стремится изогнуть часть балки относительно центра тяжести сечения х выпуклостью вниз (сжатое волокно сверху), то ее вклад во внутренний момент M_z (х) положителен; если выпуклостью вверх (сжатое волокно снизу) – отрицателен (рисунок 18).

Рисунок 18 − Определение знака изгибающего момента M_z (х)

Направим ось абсцисс (ox) системы координат слева направо вдоль оси балки. Тогда внутренние усилия Q_y (х), M_z (х) в поперечных сечениях и внешняя распределенная нагрузка q будут функциями x. Они связаны дифференциальными соотношениями:

(3)

(4)

(5)

Здесь q (х) считается положительной, если она направлена вверх. Эти соотношения следует использовать при проверке правильности построения эпюр Q _y (х) и M _z (х).

Внутренний изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, которые распределяются по высоте сечения неравномерно, вызывая растяжение одной его части и сжатие другой.

Условие прочности по нормальным напряжениям для балки любой формы поперечного сечения имеет вид

(6)

где M_z – изгибающий момент в опасном сечении балки, Н∙м;

I_z – момент инерции поперечного сечения, м⁴;

y _max – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки

поперечного сечения, м.

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси z, условие прочности преобразуется к виду

, (7)

где W_z – осевой момент сопротивления поперечного сечения, м³.

На основании соотношений (6), (7) W_z определяется по формуле

3.2.1. Построение эпюр внутренних сил Q_y и M_z

Эпюрой внутренней силы называется график ее изменения вдоль оси балки. Из определения внутренней поперечной силы Q _y (х) следует, что в том и только в том сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, имеется скачок на эпюре Q _y (х) на величину этой силы. Аналогично из определения внутреннего изгибающего момента M _z (х) следует, что в том и только в том сечении, где приложен внешний изгибающий момент, – скачок на эпюре M _z (х) на величину этого момента. Под внешними силами и моментами мы подразумеваем и реакции опор.

При проверке правильности построения эпюр Q _y (х) и M _z (х) можно использовать таблицу 4, составленную на основании дифференциальных соотношений (3) – (5). В этой таблице указана связь между знаками интенсивности распределенной нагрузки q (x), поперечной силы Q _y (х) и характером изменения эпюр Q_y (х) и M _z (х).

Таблица 4

Правила построения эпюр Q_y (х) и M_z (х), основанные

на дифференциальных зависимостях между q, Q_y (х), M_z (х)

Распределенная нагрузка q, кН/м	Поперечная сила Q_y, кН	Изгибающий момент M_z, кН∙м
q=0	Поперечная сила постоянна	Изгибающий момент изменяется по линейному закону
	0	Момент постоянный
	+	Момент возрастает
	_	Момент убывает
q >0	Поперечная сила возрастает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вниз
	0	Момент принимает экстремальное значение M _min
	+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вниз
	_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вниз
q < 0	Поперечная сила убывает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вверх
	0	Момент принимает экстремальное значение M _max
	+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вверх
	_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вверх

Пример 4

Рассмотрим построение эпюр Q_y (х) и M_z _. (х) методом записи и исследования их уравнений на примере расчета на прочность двухопорной балки.

Необходимо построить эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_z для двухопорной двутавровой балки (рисунок 19) и подобрать размеры поперечного сечения при 200 МПа.

1. Определение опорных реакций:

;

, кН;

;

, кН.

Проверка

следовательно, реакции найдены верно.

2. Построение эпюр Q _y и M _z.

Балка имеет три участка нагружения.

Участок I

В пределах первого участка произвольно намечаем сечение

(рисунок 19): м.

Для составления уравнений Q_y (х₁) и M_z (х₁) рассмотрим условия равновесия левой (от сечения ) части балки. Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме внешних сил по левую сторону от сечения.

Учитывая правило знаков (рисунок 17), получим Q_y (х) = A – q ∙ x ₁ = = 17,5 – 10∙ x ₁(кН) – линейная зависимость.

Рисунок 19 − Построение эпюр Q_y (x) и M_z (x) для двухопорной балки

График поперечной силы Q_y (х) можно построить по двум точкам, абсциссы которых соответствуют границам участка I:

Q_y (0) = 17,5 кН; Q_y (2) = – 2,5 кН.

Далее нам нужно найти точку пересечения эпюры с базисной линией, то есть . (8)

Внутренний изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов от всех внешних нагрузок по левую сторону от сечения. С учетом правила знаков (рисунок 18) получим

– парабола ветвями вниз. Значения на границах участка , кН∙м.

Вершина параболы находится из условия

т. е. из (8) при м кН∙м.

По трем точкам строим эпюру M_z на участке I.

Участок II

Наметив сечение , рассмотрим левую часть балки:

м,

Q_y (x ₂) = A – q ∙2 = 17,5 –20 = – 2,5 кН – (9)

– горизонтальная прямая, тaк как Q_y (x ₂) = – 2,5 кН – const.

(10)

= – 2,5∙ х ₂ – 10 кН∙м – прямая линия. кН∙м, кН∙м.

Можно убедиться, что из условия равновесия правой части балки

получаются те же самые выражения (9) и (10) для внутренних сил:

кН;

кН∙м.

Участок III

Здесь проще рассматривать условие равновесия правой части балки

м.

Учитывая правила знаков для правой части балки (рисунки 17, 18), получим: +17,5 кН – горизонтальная прямая.

, кН∙м.

Построив эпюры и (рисунок 19), проверяем, удовлетворяют ли

они правилам, сформулированным в таблице 4.

3. Расчет на прочность.

Условие прочности при прямом изгибе можно записать в виде неравенства

откуда находим момент сопротивления поперечного сечения.

Вычисления производим в системе СИ:

= 8,75∙10^{-5 м3}=87,5 см³.

По сортаменту (приложение 4) определим, что такому условию

соответствует двутавр № 16, W_z = 109 см³.

3.2.2. Построение эпюр внутренних сил Q_y и M_z

Без записи их уравнений

Изучив закономерность изменения Q_y и M_z на участках балки в зависимости от характера нагрузки, эпюры можно строить не по их уравнениям, а по отдельным ординатам, вычисленным для характерных сечений. Характерными являются сечения границ участков балки, а также сечения, где Q_y меняет знак.

В отличие от способа построения эпюр, рассмотренного выше, где качественные особенности эпюр (интервалы возрастания и убывания, точки экстремумов и разрывов) выявляются только в результате их построения, а затем проверяются в соответствии с таблицей 6, в данной методике эти качественные особенности используются непосредственно для построения эпюр. Как показывает практика, при этом не только уменьшается объем вычислений, но и снижается вероятность ошибки.

Рассмотрим этот метод на примере балки, представленной на рисунке 19.

1. Построение эпюры Q_y

Рисуем график эпюры в виде непрерывной линии так, что абсцисса x возрастает (идем слева направо). При этом в соответствии с правилом знаков для Q_y, встретив положительную по алгебраической величине сосредоточенную силу, направленную вверх, делаем на эпюре Q_y скачок вверх на величину этой силы (если сила направлена вверх, но ее значение отрицательно, то скачок вниз). Встретив силу, положительную по алгебраической величине, направленную вниз, делаем скачок вниз. Так как то из физического смысла производной q – скорость роста функции Q_y. Если на участке (направлена вверх), то эпюра растет при увеличении x. Если , то изображается прямой линией. Чтобы найти величину возрастания эпюры Q_y на участке, нужно q умножить на длину этого участка. Соответственно, если (направлена вниз), то убывает; если , то

Для иллюстрации построения эпюр без записи их уравнений рассмотрим расчетную схему, приведенную на рисунке 19.

Участок I

м,

17,5 кН,

кН.

Точка, где поперечная сила Q_y (x)равна нулю,

отсюда м.

Так как , то график – прямая линия.

Участок II

м,

кН (скачка нет),

кН.

График функции – горизонтальная прямая.

Участок III

м,

кН – скачок вверх на величину силы P; кН.

График функции – горизонтальная прямая.

Можно считать, что балка продолжается и правее сечения x = 4 м.

Тогда все внутренние силы в сечениях x > 4 м должны быть равны нулю (из условия равновесия правой части). Проверим это:

– скачок вниз на величину силы B – проверка сошлась.

2. Построение эпюры M_z

График эпюры M_z также будем строить в порядке возрастания абсциссы x (идем слева направо). Скачки на эпюре M_z наблюдаются в тех и только в тех точках, где приложены сосредоточенные моменты сил, причем если положительный по алгебраической величине момент направлен по часовой стрелке, то в соответствии с правилом знаков (рисунок 18, где рассматривается равновесие левой части), имеется скачок вверх на величину внешнего момента. Если встретили внешний момент, вращающий против часовой стрелки, – рисуем скачок вниз.

Так как , то Q_y (x) – скорость роста функции M_z (x). Если на участке >0, то растет, при = 0

M_z (x)= const;если < 0, M_z (x) убывает с ростом аргумента x. В том сечении внутри участка, где Q_y (x) меняет знак, на эпюре M_z (x) – экстремум. Если внутри участка Q_y (x) =const,то M_z (x) – прямая; если же – наклонная прямая, то эпюра M_z (x) изображается параболой. Иначе говоря, на тех участках, где распределенная нагрузка отсутствует эпюра M_z (x) изображается прямой линией, а там, где M_z (x) изображается параболой. Направление выпуклости параболы – навстречу распределенной нагрузке (рисунок 20).

Для того, чтобы найти величину изменения внутреннего момента M_z на заданном участке, нужно среднее значение скорости изменения момента умножить на длину участка. Иными словами, величина изменения внутреннего изгибающего момента M_z на участке равна площади эпюры Q_y на этом участке:

M_z _к‏‏ = M_z _н + Q _ср‏‏ ∙ L,

где M_z _к‏‏ – значение внутреннего момента в конце, а M_z _н – в начале участка длиной L;

Q _ср – среднее значение внутренней поперечной силы на этом участке.

Приведенная выше формула (M_z _к‏‏ = M_z _н + Q _ср‏‏ ∙ L) для определения внутреннего момента в концеучастка справедлива для любого участка, внутри которого нет внешних изгибающих моментов.

Участок I м.