Расчет сложных цепей методом узловых и контурных уравнений

В методе узловых и контурных уравнений применяются два закона Кирхгофа. Пусть сложная цепь (рис. 6.2, а) имеет следую­щие данные: Е₁ = 100 В, Е₂ = 50 В, r₁ = r₂ = 10 Ом, r₃ = r₄ = 20 Ом. Требуется определить токи в ветвях. Сначала на схеме укажем      их   направления. Токи направим       к узловой точке Б, а ток — от нее. Указанные направления токов выби­рают произвольно и условно считают положительными. После этого составим уравнения по законам Кирхгофа, число которых должно быть равно числу неизвестных токов. В данном случае требуются три уравнения. Сначала составляют более простые уравнения по первому закону Кирхгофа. Их число всегда на единицу меньше числа узлов цепи. В схеме, изображенной на рис. 6.2, а, имеется два узла: Б и Д. К узлу 6 подходят токи , а отходит от него ток . Поэтому

(6.2)

Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирх­гофа. Для контура АБДЕА

. Подставив сюда числа известных величин, получим

.

Наконец, после сокращения на 10 будем иметь

 

    (6.3)

 

Третье независимое уравнение можно составить для контура БВГДБ: . Подставив в это уравнение числа извест­ных величин, получим

(6.4)

Для того чтобы контурные уравнения были независимыми, их составляют по следующему правилу: каждое очередное уравнение должно составляться для контура, отличного от предыдущих хотя бы одной новой ветвью. Итак, составив три независимых уравненияв которых неизвестными являются токи , и решив их, найдем искомые токи. Значение тока (рис. 6.2, а) подставим в (6.4). Тогда получим

 Отсюда

 . (6.5)

Полученный ток  подставим в (6.3):   или

Отсюда  .Из (6.5) а из (6.2)

 

После решения получены токи  и  с положительным знаком. Значит, действительное направление этих токов совпадает с выбранным направлением, указанным на схеме стрелками (рис. 6.2,а). Если какой-либо ток при расчете окажется отри­цательным, то из этого следует, что он в действительности проходит в направлении, противоположном выбранному. В дан­ном примере ток  получился равным нулю потому, что разность потенциалов между точками Б и Д оказалась равной ЭДС Е₂.

Метод контурных токов

Метод узловых и контурных уравнений в ряде случаев тре­бует больших вычислений. Например, при расчете цепи (рис. 6.3), имеющей три узла (А, В, Г) и пять ветвей, требуется соста­вить и решить систему из пяти уравнений. Число уравненийсистемы можно сократить, применив метод контурных токов. Для расчета по методу контурных токов схему сложной цепи разбивают на отдель­ные контуры — ячейки. Например, схему рис. 6.3 разбивают на три контура: контур I — АБВЕА, контур II — АЕВДГА и контур III — ВГДВ. Затем каждому контуру при­писывают произвольно направлен­ный контурный ток, одинквый для всех участков данного контура.На

рис. 6.3 контурные токи  отмечены индексами контуров, а токи в ветвях — индексами ветвей, причем всем контурным токам дано одно и то же положительное направле­ние — по часовой стрелке. Контурные токи, проходящие по внешним ветвям, являются для них действительными токами, например токи  Действительные токи внутренних ветвей можно найти как разность токов двух конту­ров, в которые входит эта ветвь. Так, на рис. 6.3 токи

Выбрав и указав на схеме направления контурных токов, для каждого контура составляем уравнение по второму закону Кирхгофа. Направление обхода контуров принимается совпадающим с направлением контурных токов. Для схемы рис. 6.3 имеем три уравнения для контуров:

;      ;

 .

Левая часть каждого уравнения =— алгебраическая сумма ЭДС, включенных в контур, а правая — общее падение напря­жения в контуре от контурных токов. Подставляя в систему уравнений сопротивления и ЭДС и решая их совместно, находят контурные токи . Токи в ветвях схемы легко определить по контурным токам

 

Метод узлового напряжения

Определение узлового напряжения и токов. Потребители электрической энергии (лампы, электродвигатели и т.д.) соеди­няются параллельно. Часто общая мощность включенных прием­ников становится больше той, которую может отдать в сеть источник энергии. В таких случаях для увеличения мощности при неизменном напряжении источники энергии включают параллель­но. При этом получается сложная электрическая цепь, пред­ставленная на рис. 6.7. В ней имеется два узла А и Б, к которым присоединяются источники энергии с ЭДС Е₁, Е₂ и Е₃. Сопротив­ления г₁, г₂ и г₃ можно принять за внутренние сопротивления ис­точников, а сопротивление г₄ — за эквивалентное сопротивление всех приемников энергии.

Напряжение между узлами А и Б называется узловым напряжением. Оно равно разности потенциалов узловых точек, т. е.  . Для расчета подобных сложных электрических це­пей обычно пользуются методом узло­вого напряжения. Выведем формулу этого напряжения. Если ЭДС Е₁, Е₂ и Е₃ больше узлового напряжения, то все источники ЭДС будут работать в режиме генератора, а токи I₁, I₂ и I₃ направлены к узлу А. Ток приемников I₄ = I₁+ I₂+ I₃ Для контура, образо­ванного первой ветвью с ЭДС E₁ и сопротивлением r₁ и четвертой ветвью с сопротивлением г₄, соста­вим уравнение по второму закону Кирхгофа: . Отсю­да ток первого источника

,                                                                (6.6)

 

где g₁ = I/r₁— проводимость первой ветви. Аналогично опреде­ляем токи второго и третьего источников:

;  (6.7)

.  (6.8)

Ток приемников энергии

;                                                                (6.9)

Для узла А напишем уравнение по первому закону Кирхгофа: I₄ = I₁+ I₂+ I₃. Подставив в это уравнение найденные выраже­ния для токов, получим +  + .  Раскрывая скобки, получим или .

В общем виде

.                                                                                       (6.10)

Если какая-либо из ЭДС (рис. 6.7) имеет противоположное направление, то в (6.10) она войдет с отрицательным знаком. Та­ким образом, узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, де­ленной на сумму проводимости ветвей. Обычно бывают заданы все ЭДС и сопротивления. Находят токи методом узлового напряже­ния следующим образом: 1) по (6.10) определяют узловое напря­жение; 2) пользуясь (6.6) — (6.9), определяют токи в ветвях цепи.

2. Анализ расчетных формул. Внимательно изучив (6.6) — (6.10), можно сделать следующие выводы: а) при параллельном соединении источники питания имеют одинаковые токи (I₁=I₂=I₃), если они имеют одинаковые ЭДС (Е₁ = Е₂ = Е₃) и внут­ренние сопротивления (r₁ = г₂ = r₃ или проводимости g₁ = g₂ = g₃; б) при равных ЭДС, но различных внутренних сопротивлениях наибольший ток имеет источник с мень­шим внутренним сопротивлением, т. е. с большей проводимостью g; в) если ЭДС ис­точника равна узловому напряжению U, то его ток  г) если ЭДС ис­точника окажется ниже узлового напряжения, то ток в его ветви будет направлен - навстречу ЭДС. В этом случае источник ЭДС работает в режиме потребителя энер­гии (например, при заряде аккумуляторов); д) если увеличить ЭДС первого источника, то возрастут его ток  и узловое напряжение В результате этого снизятся токи других источников.

 

 

Метод наложения

Метод наложения можно применять для определения токов в цепи, в которой одновременно действуют несколько ЭДС. Этот метод основан на принципе наложения и применим только для линейных цепей. Сущность принципа наложения заключается в том, что ток в любой ветви цепи с постоянными сопротивлениями равен алгебраической сумме частичных токов, создаваемых в этой ветви каждой из ЭДС в отдельности. Например, ток I₃ (рис. 6.9, а) равен алгебраической сумме двух токов: I₃ (рис. 6.9,6), возникающего в ветви г₃ от действия только ЭДС Е₁, и I"₃ (рис. 6.9, в), возникающего в этой же ветви от действия ЭДС Е₂.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом.

 

В схеме оставляют первый источник энергии с ЭДС Е₁; остальные источники отключают, оставляя в схеме их внутренние сопротивления. Обычно получается цепь с последовательно-па­раллельным соединением сопротивлений. В этой цепи легко опре­делить так называемые частичные токи, вызванные действием только первого источника ЭДС. Их обозначают I”₁, I”₂, I”₃ и т. д.

В схеме оставляют второй источник энергии с ЭДС Е₂; ос­тальные источники исключают, оставляя в схеме их внутренние сопротивления. В результате расчета определяют частичные токи от действия второго источника ЭДС: I”₁, I”₂, I”₃  и т. д.

Аналогично производят расчеты для всех ЭДС схемы.

Алгебраически сложив частичные токи, определяют действи­тельные значения токов на каждом участке сложной цепи, когда все ЭДС действуют одновременно. Знак, который ставится перед частичным током при алгебраическом сложении, зависит от того, совпадает ли направление этого тока с выбранным положитель­ным направлением тока в ветви или противоположно ему.