Метод эквивалентного преобразования треугольника и звезды сопротивлений

На рис. 6.10, а дана электрическая цепь с одним источником питания, широко применяемая в области электрических измерений. Особенностью этой цепи является наличие в ней соединений, называемых треугольником и звездой. Треугольником сопротивлений называют соединение трех ветвей, образующих замкнутый контур с тремя узлами. В схеме рис. 6.10, а имеется два треугольника c сопротивлениями

Звездой сопротивлений называют соединение трех ветвей, имеющих общий узел. На рис. 6.10, а звезду сопротивлений образуют ветви с сопротивлениями . Любой треугольник сопротивлений можно заменить эквивалентной звездой. В результате замены получается другая схема, позволяющая упростить расчет. Например, схема рис. 6.10, а после замены треугольника сопротивлений эквивалентной звездой в упрощается (рис. 6.10, б) и содержит только последовательно и параллельно соединенные участки.

Эквивалентность треугольника и звезды сопротивлений заключается в том, что их замена не изменяет потенциалов узловых точек (на схеме рис. 6.10, а точек А, Б, В), являющихся вершинами треугольника и эквивалентной звезды. Не изменяются также токи, напряжения и мощности в остальной части схемы, не затронутой преобразованием. Для перехода от треугольника сопротивлений к эквивалентной звезде пользуются следующими формулами:

; ; (6.11)

Сопротивление луча А равно произведению двух сопротивлений треугольника, сходящихся в узле A, деленному на сумму всех сопротивлений треугольника. Так же определяются сопротивления и . Вернемся к схеме рис. 6.10,6. Ее легко рассчитать и определить токи I, I₄ и I₅, которые не изменились после замены треугольника эквивалентной звездой. Остальные токи I₁, I₂ и I₃Находят из уравнений по законам Кирхгофа, составленных для исходной электрической схемы цепи (рис. 6.10,а).

В некоторых электрических цепях расчет упрощается после замены трехлучевой звезды сопротивлений эквивалентным треугольником. При преобразовании звезды в эквивалентный треугольник пользуются следующими формулами:

Таким образом, сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивления двух лучей звезды, присоединенных к те же вершинам, что и сторона треугольника,и их произведения, деленного на сопротивление третьего луча звезды.

Четырехполюсники

Основные уравнения четырехполюсника. Четырехполюсником называют электрическую цепь, имеющую два входных и два выходных зажима. К входным зажимам 1—1' присоединяется источник электрической энергии, а к выходным 2—2' — приемник с сопротивлением r_н (рис. 6.12). Таким образом, четырехполюсник является промежуточным звеном между источником энергии и ее приемником. К четырехполюсникам можно отнести линии передачи энергии и сигналов, несущих информацию, трансформаторы, рельсовые цепи, фильтры, предназначенные для разделения сигналов, и другие электрические устройства. Внутренняя электрическая схема четырехполюсников может быть весьма сложной и содержать ветви с источником энергии. Четырехполюсники с источниками энергии называют активными, а без источников — пассивными.

Любой пассивный линейный четырехполюсник можно заменить эквивалентным с тремя сопротивлениями, соединенными звездой (Т-образная схема замещения) или треугольником (П-образная схема замещения). На рис. 6.13 показана Т-образная схема замещения пассивного четырехполюсника. Напряжение и ток на входе четырехполюсника обозначают U₁, I₁, а на выходе четырехполюсника U₂, I₂. Для Т-образной схемы замещения выразим U₁, I₁через U₂, I₂. Входной ток /, . Входное напряжение

После введения обозначений , , ,

получим основные уравнения четырехполюсника: , . Значения А, В, С, D называются коэффициентами четырехполюсника и связаны между собой соотношением . Справедливость этого равенства легко доказать, подставляя вместо А, В, С, D их выражения через сопротивления . Коэффициенты четырехполюсника А и D — отвлеченные числа, В имеет размерность сопротивления, С — размерность проводимости. При работе четырехполюсника в качестве промежуточного звена между источником и приемником энергии его внутренняя схема и значения ее сопротивлений не меняются. Поэтому коэффициенты А, В, С, D являются постоянными, т. е. не зависят от сопротивления нагрузки r_н или напряжения U₁ источника энергии.

При заданном режиме работы приемника (напряжении U₂ и токе I₂), пользуясь основными уравнениями, легко определить напряжение U₁ и ток I₁на входе четырехполюсника. Все расчеты с сопротивлениями внутренней схемы четырехполюсника при этом исключаются. Таким образом, расчет сложной электрической цепи можно упростить, если в ней выделить четырехполюсник. Различают симметричные и несимметричные четырехполюсники. Четырехполюсник называется симметричным, если при перемене местами источника энергии и приемника значения входных и выходных напряжений и токов не меняются. В симметричном четырехполюснике A = D и А² -ВС = 1.

2.Экспериментальное определение коэффициентов четырехполюсника. Коэффициенты А, В, С, D четырехполюсника находят из опытов холостого хода и короткого замыкания. В опыте холостого хода (рис. 6.14) вторичные зажимы разомкнуты и I₂ = 0. Обозначив входное напряжение U₁_xx, входной ток I_1ХХ, выходное напряжение U_2хх, перепишем основные уравнения четырехполюсника для холостого хода: U₁_xx, = A/ U_2хх и, С= I_1ХХ / U_2хх. Отсюда А = U₁_xx / U_2хх, С= I_1ХХ/ U_2хх. В опыте короткого замыкания (рис. 6.15) выходные зажимы 2—2' замкнуты через очень малое сопротивление амперметра, а к входным зажимам подведено пониженное напряжение U_1кз такое, чтобы выходной ток I_2кз не превышал номинального значения. Основные уравнения четырехполюсника в условиях короткого замыкания (U₂= 0) примут вид U_1кз = B/I_2кз и I_1кз=DI_2кз

Отсюда B=U₁_кз/I₂_кз,D= I₁_кз/ I₂_кз

3.Режим четырехполюсника при нагрузке. Пусть заданы напряжение U₂и ток I₂ на нагрузке. При проведении опыта холостого хода четырехполюсника напряжение на выходных зажимах 2—2’ можно выбрать равным заданному напряжению U₂, а при проведении опыта короткого замыкания в выходном контуре установить ток I₂Заданные величины U₂ и I₂ устанавливаются регулировкой напряжения на входе четырехполюсника. Тогда напряжение и ток на входе четырехполюсника будут равны при холостом ходе U₁_xx =A U₂, I_1ХХ = С/ U₂; при коротком замыкании U_1к = BI_2кз, I_1кз = D/I_2кзпри заданном режиме U₁ = A U₂ + BI₂ = U₁_xx+ U_1кз, I₁ = C U₂ +DI₂ = I_1ХХ + I_1кз Следовательно, при любом заданном режиме (U₂, I₂) работы приемника напряжение U₁ и ток I₁можно определить путем наложения соответствующих режимов холостого

Глава 7 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ § 7.1. Основные понятия

1. Определение и основные свойства магнитного поля.

В проводнике с током и вокруг него возникает магнитное поле При достаточно сильном токе его можно обнаружить с помощью магнитной стрелки (рис 7.1, а) Если к проводнику с электрическим током (на рис. 7.1, б этот проводник обозначен кружком с крестиком, так как ток направлен за плоскость чертежа) поднести магнитную стрелку, то она изменит свое положение. После отключения тока магнитная стрелка возвратится в исходное положение Магнитное поле возникает не только вокруг проводников с током, но и при движении любых электрически заряженных частиц и тел, а также при изменении электрического поля В постоянных магнитах оно создается и вращений их вокруг своих осей.

Магнитное поле имеет ряд физических свойств. Основным свойством является силовое воздействие его как на движущиеся в нем заряженные тела, так и на неподвижные проводники с электрическим током. Магнитное поле может также намагничивать ферромагнитные тела, возбуждать ЭДС в проводниках, которые перемещаются в магнитном поле. Эти свойства имеют большое практическое значение. Силовое действие магнитного поля используется в электродвигателях, многих электроизмерительных приборах, электротехнических аппаратах. На использовании индуцированных ЭДС основан принцип действия генераторов, трансформаторов, различных преобразователей и других устройств.

рис7.2.

2. Направление магнитного поля. За направление магнитного поля в заданной точке принимается такое, которое укажет северный конец магнитной стрелки, помещенной в эту точку. Для того чтобы наглядно графически изобразить магнитное поле, введено понятие о магнитных линиях. Их проводят так, чтобы направление касательной в каждой ее точке совпало с направлением поля. Направление магнитных линий вокруг прямолинейного проводника с током определяется по правилу буравчика: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока в проводе, то вращение рукоятки буравчика укажет направление магнитных силовых линий.

На рис. 7.2 ток I направлен за плоскость чертежа. Для того чтобы буравчик двигался в этом направлении, его следует вращать по ходу часовой стрелки. Значит, магнитные линии расположены по концентрическим окружностям и направлены по ходу часовой стрелки. Направление магнитного поля в каждой точке совпадает с касательной, проведенной к магнитной линии. На рис. 7.3 показаны магнитные линии поля витка с током, а на рис. 7.4 — катушки с током. Для этого случая правило буравчика имеет другую формулировку: если рукоятку буравчика вращать по направлению тока в витках, то его поступательное движение совпадает с направлением магнитных линий внутри катушки.Направление поля внутри катушки можно определить и по правилу правой руки: если ладонь правой руки положить на витки катушки так, чтобы четыре сложенных вместе пальца показывали направление тока в витках, то отогнутый под прямым углом большой палец укажет направление поля внутри катушки.

§7.2. Величины, характеризующие магнитное поле

1. Магнитная индукция. Интенсивность магнитного поля в каждой его точке определяется магнитной индукцией, обозначаемой В. Для того чтобы дать определение магнитной индукции и установить ее единицу в СИ, воспользуемся силовым воздействием магнитного поля на проводник с током. В однородном поле (рис. 7.5), магнитная индукция которого постоянна и равна В, помещен прямолинейный проводник длиной / с током /. Причем угол между проводником и магнитными линиями равен 90°. По закону Ампера, установленному опытным путем, известно, что на такой проводник действует электромагнитная сила

BIl.

Направление электромагнитной силы определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы магнитные линии входили в нее, а четыре выпрямленных пальца совпадали с направлением тока, то отогнутый под прямым углом большой палец укажет направление силы (рис. 7.6).

Из формулы (7.1) магнитная индукция

(7.2)

Если 1=1 А, /=1 м, то B=F.Отсюда следует определение магнитной индукции: магнитная индукция есть величина, численно равная силе, которая действует на проводник длиной 1 м с током 1 А, помещенный в однородное магнитное поле перпендикулярно его направлению. Из (7.2) определим единицу магнитной индукции в СИ:

[В] = H/(А·м) = Дж/(м·А·м) = В·А·с/(А·м²) = В·с/м².

Для В·с установлено наименование — вебер (Вб). Следовательно, единицей индукции служит Вб/м². Ее называют тесла [Тл]. Магнитную индукцию иногда выражают и в более мелких единицах — гауссах: 1 Гс= Тл. Магнитная индукция — величина векторная. Направление вектора индукции в каждой точке совпадает с направлением поля.

Магнитное поле считается однородным, если векторы В магнитных индукций во всех его точках одинаковы. В противном случае поле считается неоднородным. С помощью магнитных линий можно не только указать направление магнитного поля, но и выразить значение магнитной индукции. Неоднородное магнитное поле будет изображаться замкнутыми линиями, проведенными с неодинаковой плотностью.

2. Магнитный поток. На рис. 7.7 перпендикулярно вектору магнитной индукции В однородного поля расположена площадка 5. Произведение магнитной индукции В однородного поля и площадки 5, перпендикулярной вектору этой индукции, называется магнитным потоком:

. (7.3)

Для определения магнитного потока в неоднородном поле поступают следующим образом. На заданной поверхности Sвыделяют элементарную площадь dS(рис. 7.8). Находят нормальную составляющую вектора магнитной индукции на элементарной площадке: В, где — угол между нормалью к площадке dSи вектором магнитной индукции В. Затем находят элементарный магнитный поток через элементарную площадь dS:dФ= dS. Магнитный поток через всю поверхность Ф =

Ф= . Выведем размерность магнитного потока в СИ: [ф] = [BS] = = Вб. Более мелкой единицей является максвелл (Мкс): 1 Вб = 10⁸ Мкс.

3.Абсолютная и относительная магнитная проницаемости. Напряженность магнитного поля.

Интенсивность магнитного поля зависит от среды (вещества), в которой Она возникает.Это можно объяснить следующим образом. Движение электронов по орбитам внутриатома рассматривается как элементарный ток. При отсутствии внешнего магнитного поля элементарные токи внутривещества ориентированы беспорядочно и Рис. 7.9 магнитное поле этих токов не обнаруживается. Под действием внешнего поля, в которое вносится вещество, появляется согласованная ориентацияэлементарных токов и они создают свое дополнительноемагнитноеполе, налагаемое на внешнее и изменяющее его.Таким образом, любое вещество, находящееся в магнитном поле внешних токов, приходит в состояние намагниченности, которое характеризуется возникновением в нем добавочного магнитного поля.

Интенсивность и характер намагниченности различных веществ в одинаковом магнитном поле внешних токов значительно отличаются. Поэтому все вещества можно разделить на три группы: диамагнитные (вода, водород, кварц, серебро, медь и т.д.), в которых магнитное поле элементарных токов направлено против поля внешних токов, т. е. результирующее поле ослабляется; парамагнитные (алюминий, кислород, воздух и т.д.); ферромагнитные (железо, никель, кобальт и некоторые сплавы).

Парамагнитные и ферромагнитные вещества характеризуются тем, что магнитное поле элементарных токов в них направлено одинаково с полем внешних токов. В результате магнитное поле усиливается. Однако намагниченность ферромагнитных веществ в отличие от парамагнитных во много раз сильнее при одинаковом магнитном поле внешних токов.

Магнитные свойства веществ характеризуются абсолютной магнитной проницаемостью 𝝁̥₀ Абсолютную магнитную проницаемость пустоты называют магнитной постоянной:

𝝁̥₀=4𝛑·10⁻⁷ Гн/м. Генри — единица индуктивности (Гн = Ом • с). Отношение абсолютной магнитной проницаемости данного вещества 𝝁̥ₐ к магнитной постоянной 𝝁̥₀ называется относительной магнитной проницаемостью т.е.

Ясно, что для пустоты 𝝁ᵣ=1. Относительная магнитная проницаемость парамагнитных веществ больше единицы, а диамагнитных — меньше единицы.Это различие большинства веществ незначительно. Например, у парамагнитного алюминия 𝝁ᵣ=1,000023, а у диамагнитной меди 𝝁ᵣ=0,99991. Поэтому при технических расчетах магнитная проницаемость диамагнитных и парамагнитных материалов и сред принимается равной единице.

В электротехнике особое значение имеют ферромагнитные материалы, относительная магнитная проницаемость которых достигает десятков тысяч и зависит от магнитных свойств материала, температуры, напряженности магнитного поля. Большая магнитная проницаемость ферромагнетиков используется для того, чтобы усиливать магнитные поля и придать им нужную конфигурацию в электрических машинах и аппаратах.

При расчетах магнитных цепей необходимо применять величину, которая, так же как и магнитная индукция, характеризует магнитное поле, но в то же время не зависит от свойств среды. Такой величиной является напряженность магнитного поля Н. Напряженность магнитного поля и магнитная индукция связаны простым соотношением

(7.4)

Напряжен напряженность магнитного поля — векторная величина. Направление вектора напряженности Н в изотропных средах, т. е. в средах с одинаковыми во всех направлениях магнитными свойствами, совпадает с направлением поля в каждой его точке. Напряженность магнитного поля в СИ выражается в амперах на метр (А/м):

[В] = [В/𝝁ₐ] = Вб • м/ [Н] =[В/𝝁ₐ]Вб·м/(м² • Гн) = В • с • м/(м²• Ом·с) = А/м.

Единицей напряженности является также эрстед (Э): 1 Э = 80 А/м = 0,8 А/см.

Закон полного тока

Магнитное поле и электрический ток неразрывно связаны друг с другом. Значит, напряженность, индукция и поток зависят от тока. Зависимость между напряженностью магнитного поля и током можно установить, применив закон полного тока. На рис. 7.12 показаны три проводника с электрическим током. Вокруг проводников проведен контур АБВГДЕА. В разных точках этого контура напряженность магнитного поля будет различной по значению и направлению. Предположим, что на бесконечно малом элементе длины контура ∆ l вектор напряженности поля образует с элементом длины ∆l угол α. В этом случае вектор Н можно разложить на две составляющие: и . Продольная составляющая напряженности магнитного поля ∆l направлена по длине ∆ l, а поперечная H— под углом 90° к ∆l. Произведение l называется магнитным напряжениемAU_Mна участке , которое будет положительным, если вектор Hiсовпадает с направлением обхода контура, например с движением часовой стрелки. Магнитное напряжение выражается в амперах [U_M]=[ l ] = А.

Сумму элементарных магнитных напряжений вдоль замкнутого контура называют циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутомуконтуру. Алгебраическая сумма токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром, называется полным током ∑l

Закон полного тока формулируется следующим образом: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему поверхность,ограниченную этим контуром.

Токи, пронизывающие поверхность, считаются положительными, если их магнитное поле совпадает с положительным направлением обхода контура. Так, на рис. 7.12 при обходе контура по часовой стрелке токи I₁ и I₃ положительные, а ток I₂отрицательный.

Рис 7.12.

§ 7.4. Магнитное поле тока р прямолинейном проводе

1. Магнитное поле за пределами провода. Рассмотрим магнитное поле тока I в прямолинейном проводе большой длины (рис. 7.13). Напряженность и магнитную индукцию такого поля легко определить по закону полного тока. Выведем формулу напряженности магнитного поля в точке А, которая удалена от оси провода на расстояние х>R

(R — радиус провода). Для этого в плоскости, перпендикулярной оси проводника, проведем окружность радиусом х с центром на оси провода. Так как все точки этой окружности удалены от оси провода на одинаковое расстояние, то напряженность поля в них одинакова.

Вектор напряженности в любой точке контура направлен по касательной к силовой линии._ Поэтому продольная составляющая напряженности поля Hi = H.Площадь, ограниченную выделенным контуром, в данном случае пронизывает только один токI. Значит, . На основании закона полного тока приравниваем правые части этих уравнений, т. е.Н2𝛑х = I. Отсюда

Значит, напряженностьи индукция магнитного поля прямо пропорциональны току и обратно пропорциональны расстоянию от оси провода. Можно пользоваться (7.5) и (7.6) в том случае, если x>R, а длина провода значительно больше расстояния х.

2.Магнитное поле внутри провода. Определим напряженность поля внутри провода, т. е. в точках, удаленных от оси провода на расстояние х<R

Для этого из центра провода проведем окружность радиусом х.

Площадь, ограниченная этой окружностью, пронизывается током

I = 𝛿Sx, здесь 𝛿 = I/(𝛑R²) — плотность тока в проводе; Sx=𝛑x²— площадь, ограниченная выделенным контуром. Следовательно,

I_x = I𝛑x²/(nR²) = Ix²/R².Так как напряженность поля Н в силу симметрии во всех точках выделенного контура постоянна, то, по закону полного тока,

Отсюда

Следовательно, напряженность и индукция в любой точке внутри провода прямо пропорциональны расстоянию х этой точки от оси провода. В частности, на оси провода, т. е. при х = О, напряженность

Н= 0 и В = 0. От оси провода к его поверхности напряженность и магнитная индукция линейно возрастают, достигая наибольшего значения на его поверхности.

2. Магнитное поле нескольких проводов с токами. В некоторых случаях магнитное поле создается системой проводов с электрическими токами. Находят магнитную индукцию в какой- либо точке этого поля следующим образом: а) определяют значение и направление магнитной индукции B1 в данной точке от тока первого проводника; б) определяют значение и направление магнитных индукций В2, Вз и т. д. в этой же точке от других токов; в) путем сложения векторов магнитных индукций B1, В2, Вз... и т. д. находят искомый вектор магнитной индукции В.

§ 7.5. Магнитное поле кольцевой и прямой катушек

1. Магнитное поле кольцевой катушки. Воспользуемся законом полного тока для определения напряженности магнитного поля кольцевой катушки с током I, имеющей wравномерно распределенных витков (рис. 7.19, а). Для этого выделим замкнутый контур по средней магнитной линии радиуса R.Во всех точках этого контура вектор напряженности магнитного поля совпадает с касательной к контуру и имеет одинаковое значение. Поэтому а полный ток,пронизывающий ограниченную контуром поверхность

По закону полного тока .,т.е

Следовательно, напряженность поля катушки по средней магнитной линии

а магнитная индукция

рис 7.19

2. Магнитное поле прямой катушки. Напряженность магнитного поля кольцевой катушки численно равна отношению намагничивающей силы Iwко всей длине окружности 2𝛑R.Напряженность поля находят и другим способом: путем деления намагничивающей силы Iw'части дуги окружности на длину этой дуги I' (рис. 7.19, б), т. е. '.Прямую катушку (рис. 7.20) можно рассматривать как часть кольцевой с бесконечно большим радиусом. Поэтому напряженность магнитного поля по осевой линии прямой катушки при достаточно большой ее длине можно определить по следующей приближенной формуле:

. (7.11)

Ошибка при определении Н будет тем меньше, чем больше отношение длины катушки к ее диаметру. Магнитная индукция прямой катушки

(7.12)

§ 7.6. Сила взаимодействия токов двух параллельных проводов

1. Направление и значение силы взаимодействия. Опытным путем установлено, что магнитное поле действует на провод с током, помещенный в поле, с некоторой силой F,называемой электромагнитной. На практике часто встречается параллельное расположение проводов стоками, например в линиях электропередачи. Рассмотрим действиеэлектромагнитных сил в системе двух параллельных прямолинейных проводов1и2длиной l, расположенных на расстоянии а друг от друга. Токи l₁ и l ₂ указанных проводов направлены в одну сторону (рис. 7.21) или в противоположные (рис. 7.22). Проходящий по проводу 2 ток /₂ создает поле, магнитная индукция которого на оси провода 1 выражается формулой (7.6):

Направление вектора индукции В₂определяется по правилу буравчика. Так как в магнитном поле провода 2 находится провод I с током I1, то на него действует электромагнитная сила

Провод 2с током I2 находится в магнитном поле провода 1 с током I1. Магнитная индукция

а электромагнитная сила

Направление сил F1 и F2определяется по правилу левой руки. Из сказанного следует, что провода с токами одного направления притягиваются друг к другу, а с токами противоположного отталкиваются друг от друга с силой

2. Принцип действия ваттметра электродинамической системы.

На принципе механического взаимодействия проводов с электрическими токами действуют приборы электродинамической системы. На рис. 7.25 показаны устройство и включение ваттметра электродинамической системы. Неподвижная катушка ваттметра (НК) имеет незначительное сопротивление и включается с приемниками энергии последовательно. Подвижная катушка (ПК) вместе с добавочным сопротивлением г_д имеет очень большое сопротивление и подключается к приемникам энергии параллельно. Благодаря взаимодействию тока неподвижной катушки I с током подвижной катушки I_и подвижная система прибора вместе с указательной

стрелкой повернется на некоторый угол 𝜶, зависящий от силы упругости противодействующей пружины. Этот угол пропорционален произведению токов в катушках, т. е. .Тогда

,где Р - мощность приемника энергии. Таким образом, угол поворота подвижной системы ваттметра пропорционален мощности приемника энергии.хода и короткого замыкания. Для проведения опытов холостого хода и короткого замыкания требуется сравнительно небольшая мощность источника питания. Поэтому рабочий режим электротехнических устройств большой мощности целесообразно определять на основании соответствующих опытов холостого хода и короткого замыкания.

Глава 8

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. МАГНИТНАЯ ЦЕПЬ

§ 8.1. Намагничивание и перемагничивание ферромагнитных материалов

1. Кривая первоначального намагничивания и петля гистерезиса. Ферромагнитные материалы, помешенные в магнитное поле, намагничиваются, т. е. сами становятся источниками магнитного поля. Причина намагничивания заключается в том, что во всех веществах существуют мельчайшие электрические токи, замыкающиеся в пределах каждого атома (молекулярные токи). Они вызваны вращением электронов по орбитам и вокруг собственных осей. Магнитные свойства элементарного кругового тока можно характеризовать магнитным моментом т, который равен произведению элементарного тока iи элементарной площадки S, ограниченной контуром элементарного тока. Направление вектора mопределяется по правилу буравчика. Магнитные моменты, обусловленные движением электронов по орбитам, называют орбитальными моментами, а обусловленные вращением электронов вокруг своей оси — спиновыми моментами.

В ферромагнитных материалах имеются области, называемые магнитными доменами, спиновые моменты которых ориентированы одинаково. Эти области оказываются самопроизвольно намагниченными. Ферромагнитное тело состоит из множества доменов, отличающихся значением и направлением своих магнитных моментов М. В остальном ненамагниченном стержне магнитные домены расположены беспорядочно. Вследствие этого их магнитные моменты взаимно уравновешиваются (рис. 8.1, а) и результирующая магнитная индукция стержня равна нулю. Если стержень поместить в магнитное полё внешнего тока, то магнитные моменты доменов повернутся в направлении поля (рис. 8.1, б) и их магнитные поля усилят внешнее магнитное поле. На рис. 8.1, б внешнее поле изображено сплошными магнитными линиями, а поля магнитных доменов — пунктирными линиями.

Поместим стержень из ферромагнитного материала в катушку с током (рис. 8.2), а затем, изменяя напряженность поля катушки H = Iw/l,проследим за изменением магнитной индукции В. С увеличением напряженности магнитная индукция сначала быстро возрастает почти пропорционально напряженности поля Н (отрезок АБ на рис. 8.3). На участке БВ рост магнитной индукции замедляется, так как сокращается количество согласованно ориентированных доменов, усиливающих магнитное поле катушки. На участке ВГ, когда по направлению поля повернуты все домены, наступает магнитное насыщение стержня, т. е. такое состояние ферромагнитного вещества, при котором рост напряженности поля не влечет за собой увеличения магнитной индукции.

Таким образом, магнитный материал можно намагничивать только до определенного состояния. Кривая АБВГ называется кривой первоначального намагничивания, которой пользуются при расчете магнитных цепей электрических аппаратов. При уменьшении напряженности поля стержень размагничивается и его индукция уменьшается по кривой ГДЕ.

Все ферромагнитные материалы стремятся сохранить возбужденное магнитное состояние, поэтому кривая их размагничивания лежит выше кривой первоначального намагничивания. Размагничивание стержня (сердечника) как бы запаздывает по сравнению с уменьшением напряженности поля. Это явление называется магнитным гистерезисом. После отключения тока катушки (когда Н — 0) магнитная индукция равна величине, называемой остаточной индукцией (изображена отрезком АЕ на рис. 8.3). Если изменить направление тока в катушке и увеличивать напряженность поля, то стержень сначала будет размагничиваться по кривой ЕЖ.Значение напряженности поля обратного направления (отрезок АЖ на рис. 8.3), при котором магнитная индукция равна нулю, называют коэрцитивной (задерживающей) силой. При дальнейшем увеличении напряженности стержень перемагничи- вается до насыщения (точка 3). Кривая размагничивается ЗИ не совпадает с кривой ЖЗ из-за гистерезиса. Отрезок АЕ = —АИ служит мерой остаточного магнетизма в испытуемом стержне. При вторичном изменении направления тока магнитная индукция стержня изменяется по кривой ИК.Г. Таким образом, при изменении направления тока магнитная индукция стержня изменяется по кривой ГДЕЖЗИКГ.

Рассмотренный цикл перемагничивания ферромагнетика называется гистерезисным циклом (петлей гистерезиса). Так как при намагничивании ферромагнитный стержень был Доведен донасыщения, то полученная петля называется предельной петлей гистерезиса. При меньших пределах изменения напряженности внешнего магнитного поля можно получить семейство петель гистерезиса, заключенных внутри предельной петли (рис. 8.4, а). Кривая 0-1-2-3-4, проведенная через вершины всех петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания. Она практически совпадает с кривой первоначального намагничивания. Перемагничивание ферромагнитных материалов сопровождается их нагревом, а следовательно, потерей некоторой энергии. Известно, что количество энергии, теряемой в ферромагнитном теле за полный цикл перемагничивания, пропорционально площади петли гистерезиса.

2.Классификация ферромагнитных материалов. Все ферромагнитные материалы разделяются на магнитомягкие и магнитотвердые. Магнитомягкие материалы (электротехническая сталь, чугун, пермаллой, ферриты и т. д.) обладают малой остаточной индукцией и коэрцитивной силой и имеют круто поднимающуюся основную кривую намагничивания (кривые 1, 2 на рис. 8.4, б). Поэтому они легко перемагничиваются и имеют незначительные

1. потери энергии от гистерезиса, что удобно для использования их в машинах и приборах переменного тока. Для изготовления постоянных магнитов применяются магнитотвердые материалы (закаленная сталь, сплавы: альнико, альниси, магнико и т.д.), обладающие большой остаточной индукцией, коэрцитивной силой и полого поднимающейся основной кривой намагничивания (кривая 3 на рис. 8.4, б). Таким образом, зависимость магнитной индукции от напряженности поля достаточно сложная и не может быть выражена простой расчетной формулой. Поэтому при расчете магнитных цепей, содержащих ферромагнитики, применяют экспериментально снятые кривые намагничивания В(Н) для заданных магнитных материалов.

§ 8.2, Законы магнитной цепи

1. Закон Ома для магнитной цепи. Устройство, содержащее сердечники из ферромагнитных материалов, через которые замыкается магнитный поток, называется магнитной цепью.

Различают неразветвленные и разветвленные магнитные цепи. Неразветвленная магнитная цепь называется однородной, если все ее участки выполнены из одного материала и имеют по всей длине одинаковое поперечное сечение Разветвленные магнитные цепи могут быть симметричными и несимметричными

На рис. 8.5 показана неразветвленная, неоднородная магнитная цепь, состоящая из трех участков. Под действием магнитодвижущей силы Iwобмотки в цепи возникает магнитный поток Ф, который можно принять одинаковым для всех участков. Выберем контур по средней линии магнитной индукции и обозначим длины однородных участков I_и I ₂, I з, а попереченые сечения участков Si, S₂, S3.

§ 8.2, Законы магнитной цепи

2. Закон Ома для магнитной цепи. Устройство, содержащее сердечники из ферромагнитных материалов, через которые замыкается магнитный поток, называется магнитной цепью.

На рис. 8.5 показана неразветвленная, неоднородная магнитная цепь, состоящая из трех участков. Под действием магнитодвижущей силы Iwобмотки в цепи возникает магнитный поток Ф, который можно принять одинаковым для всех участков. Выберем контур по средней линии магнитной индукции и обозначим длины однородных участков I _и I ₂, I з, а попереченые сечения участков S₁, S₂, S3.По закону полного тока составим уравнение Напряженности магнитного поля участков:

, а магнитные индукции: . Теперь напряженности и магнитные индукции подставим в уравнение закона полного тока:

По аналогии с электрической цепью

l/(𝝁ₐS) называют магнитным сопротивлением участка магнитной цепи и обозначают Rм· В СИ единица магнитного

сопротивления [

Таким образом I (8.1)

Последняя формула выражает закон Ома для неразветвленной магнитной цепи: магнитный поток прямо пропорционален магнитодвижущей силе (Iw) и обратно пропорционален полному сопротивлению магнитной цепи (ΣRм).Магнитные цепи в электрических машинах, электроизмерительных приборах, реле и других устройствах стремятся выполнить преимущественно из ферромгнитных материалов, а воздушные зазоры сократить до минимума. Это позволяет уменьшать магнитное сопротивление цепи и получить необходимый для работы устройств магнитный поток при наименьшей МДС.

3. Законы Кирхгофа для магнитных цепей. На рис. 8.6 показана разветвленная симметричная магнитная цепь, состоящая из двух одинаковых контуров. Средний стержень вместе с катушкой — источником намагничивающей силы — одинаково входит в оба контура. В узле А магнитный поток среднего стержня Ф₂ делится на два равных потока Ф₁ и Фз, если магнитное сопротивление обоих контуров одинаково. Разветвленная магнитная цепь называется симметричной, если ф₁=ф₃. Таким образом,

(8.2)

алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю. Соотношение (8.2) аналогично уравнению для узла электрической цепи, написанному согласно первому закону Кирхгофа:Σ I =0. Для любого контура разветвленной магнитной цепи можно также составить уравнения по закону полноготока:

(8.3)

т. е. в контуре магнитной цепи алгебраическая сумма магнитодвижущих сил равна алгебраической сумме магнитных напряжений на отдельных участках.

Уравнение (8.3) аналогично уравнению для контура электрической цепи = составленному на основании второго закона Кирхгофа при постоянном токе. Например, для контура АБВГА (рис. 8.6) . Расчет магнитных цепей, если можно пренебречь потоками рассеяния, аналогичен расчету нелинейных электрических цепей, причем МДС Iωсоответствует ЭДС E, потоку Ф — ток I и магнитному сопротивлению R_м — электрическое сопротивление r. Необходимо иметь в виду, что приведенная аналогия магнитных и электрических цепей формальна, т. е. аналогия формул не соответствует аналогии процессов.

§ 8.3. Расчет магнитных цепей

Расчет неразветвленных магнитных цепей. Расчет неразветвленной магнитной цепи (см. рис. 8.5) в большинстве случаев сводится к определению намагничивающей силы Iw,которая требуется для получения заданного магнитного потока Ф или магнитной индукции В. При этом указываются размеры и материал всех участков магнитной цепи. Такой расчет производят следующим образом, а) Проводят среднюю магнитную линию и по ней цепь разбирают на однородные участки (т. е. одинакового поперечного сечения и магнитной проницаемости р_а). Длины участков l₁, l₂, l₃(в СИ) выражают в метрах (м), а их поперечные сечения S₁, S₂, S₃ — в квадратных метрах (м). б) По формуле В = Ф/S находят магнитные индукции участков, в) Определяют необходимую напряженность поля Н, а затем магнитное напряжение Hlкаждого участка. Для участков, выполненных из ферромагнитного материала, напряженность поля определяют по кривым намагничивания (рис. 8.7), а для воздушных зазоров—по формуле . Если индукцию выразить в Тл, в напряженность— в А/м, то H = 0,8·10⁶ В, г) Складывая магнитные напряжения Hlвсех участков, по закону полного тока определяют намагничивающую силу, необходимую для создания в данной магнитной цепи потока Ф:

Электротехническая (листовая) стало и чугун

Литая стало Рис. 8.7

рис 8.6

1. Расчет разветвленных магнитных цепей. Порядок расчета разветвленных магнитных цепей рассмотрим на следующем примере. В крайних стержнях сердечника (рис. 8.9), выполненного из электротехнической стали, требуется получить магнитную индукцию B₂= 1,2 Тл. Для вычисления намагничивающей силы Iwконтур АБВГА разобьем на два участка и определим длину и сечение каждого из них: l ₁ = 100 мм=0,1 м; S₁=50·60=

= 3000 мм² = 3·10^⁻³ м²; l₂ = 440 м = 0,44 м; S₂ = 40·50 = 2000 мм²=2·10⁻³м². Магнитный поток правого стержня Ф₂ = B₂S₂= 1,2·2·10⁻³ = 2,4·10⁻³ Вб. Так как магнитная цепь симметрична, то магнитный поток среднего стержня Ф₁ = 2Ф₂ = =2·2,4·10^⁻³=4,8·10^⁻³ Вб, а магнитная индукция B₁=Ф₁/S₁=4,8·10⁻³/(3·10⁻³)=1,6 Тл. По кривой намагничивания электротехнической стали находим напряженность магнитного поля: H₁=44 А/см=4400 А/м и Н₂=10 А/см=1000 А/м (см. рис. 8.7). Значит, Iw = H₁l₁+ H ₂ l ₂ = 4400 · 0,1 + 1000·0,44=880 А.

§ 8.4. Электромагниты и реле

1.Подъемная сила электромагнита. Простейший электромагнит (рис. 8.10) состоит из стального сердечника С, на котором размещается катушка. Магнитный поток, создаваемый током катушки, замыкается по сердечнику и стальному якорю R. В результате сердечник и якорь намагничиваются.При этом против северного полюса сердечника расположен южный полюс якоря, а против южного полюса сердечника — северный полюс якоря. Поэтому якорь будет притягиваться к неподвижному сердечнику. Сила, необходимая для отрыва якоря от сердечника, называется отрывной. Значение отрывной силы (Н)

Если сила выражена в килограммах, магнитная индукция — в теслах, площадь — в квадратных сантиметрах, то F =4 B²S. Сердечник и якорь электромагнита изготовляют из мягкой стали, поэтому при размыкании цепи они размагничиваются и сила становится равной нулю. Электромагниты широко применяют в устройствах автоматики, телемеханики, связи, измерительной техники и т. д.

2.Устройство и применение электромагнитных реле. На использовании электромагнита основано устройство электромагнитного реле. Простейшее реле автоблокировки, схематически изображенное на рис. 8.11, состоит из сердечника С с обмоткой, якоря R, ярма Rр и контактной группы КГ, имеющей осевой О, фронтовой Ф и тыловой Т контакты. При отсутствии тока в обмотке реле якорь под действием противовеса (на рис. 8.11 не показан) отпадает, осевой контакт контактной группы касается тылового контакта. При наличии тока в обмотке реле якорь притянут к сердечнику, осевой контакт касается фронтового.

еле широко применяются в различных автоматических устройствах, например в железнодорожной автоблокировке. Рассмотрим ее простейшую схему. Рельсовая колея делится на участки, отделяемые друг от друга изолирующими стыками (рис. 8.12). По рельсам каждого участка проходит ток, источником которого является путевая батарея ПБ, а приемником — путевое реле ПР. Когда участок свободен от подвижного состава, ток путевой батареи проходит по цепи: +ПБ — ограничительное сопротивление ОС — первая рельсовая нить на всю длину участка — обмотка путевого реле ПР — вторая рельсовая нить участка — ПБ. Получая ток, путевое реле удерживает, притянутый якорь. При этом замыкается цепь лампы зеленого огня светофора: + СБ (сигнальной батареи) — осевой и фронтовой контакты реле — лампа зеленого огня — СБ. При вступлении поезда на участок рельсовые нити замкнутся между собой через колесные пары,

которые имеют незначительное сопротивление. Ток путевогореле уменьшится, и якорь реле отпадет. При этом осевой контакт соединится с тыловым. В результате в цепь сигнальной батареи вместо зеленой лампы включится красная, указывающая на

занятость участка. Рельсовые нити и скаты поезда имеют небольшое сопротивление. Поэтому в рельсовую цепь включают ограничительное сопротивление ОС, уменьшающее ток путевой батареи при занятом участке.

Путевое реле, показанное на рис. 8.11 и 8.12, называют нейтральным, так как его якорь притягивается к сердечнику независимо от направления тока. Кроме нейтральных применяются и поляризованные реле. Их якорь отклоняется от нейтрального положения в одну или другую сторону в зависимости от направления тока в его обмотке.

Глава 9

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

§ 9.1. Явление электромагнитной индукции.

Значение индуцированной электродвижущей силы

1. Электродвижущая сила в проводе и контуре. В проводе, который при движении в магнитном поле пересекает магнитные линии, возбуждается электродвижущая сила (ЭДС) электромагнитной индукции. Это явление было открыто английским ученым М. Фарадеем в 1831 г. и названо электромагнитной индукцией. Английский физик Д. Максвелл, анализируя результаты опытов М. Фарадея, установил, что ЭДС электромагнитной индукции, наводимой в контуре, равна скорости изменения сцепленного с ним магнитного потока.На рис. 9.1 показана рамка из проводникового материала в однородном магнитном поле. Если эту рамку перемещать вверх или вниз по направлению магнитных линий, влево или вправо под прямым углом к ним, то пронизывающий ее магнитный поток изменяться не будет. ЭДС и ток в рамке при этих условиях не возникают. В рассматриваемом примере отдельные части рамки пересекают линии магнитной индукции и в них имеются ЭДС. Однако полная ЭДС рамки, равная сумме ЭДС, возникающих в отдельных ее частях, равна нулю. Предположим теперь, что рамка будет вращаться вокруг оси 00₁. В положении, показанном на рис. 9.1, рамку пронизывает максимальный магнитный поток, который при повороте на 90° будет равен нулю. Следовательно, магнитный поток рамки изменяется и в ней появится ЭДС.

2.Действие электромагнитных сил. Рассмотрим появление ЭДС индукции в прямолинейном проводнике (рис. 9.2), который перемещается в однородном магнитном поле по медным шинам А и Б в направлении силы Fсо скоростью и. Вместе с проводником перемещаются его элементарные электрически заряженные частицы — свободные электроны и положительные ионы. Следовательно, на каждую заряженную частицу будет действовать электромагнитная сила. Пользуясь правилом левой руки, можно установить, что электромагнитные силы, действующие на положительные ионы, направлены к шине Б, а действующие на свободные электроны — к шине А. Таким образом, электромагнитные силы стремятся разделить электрически заряженные частицы, сосредоточив их на противоположных концах проводника. В результате в нем возникает электрическое поле. Силы этого поля и электромагнитные силы направлены в разные стороны. Поэтому разделение электрических зарядов в проводнике происходит до тех пор, пока электромагнитные силы не уравновесятся силами электрического поля. При этом между шинами А и Б возникает определенная разность потенциалов, которая при разомкнутом рубильнике Р равна ЭДС индукции. При замыкании рубильника Р в замкнутом контуре появится ток I, его сила будет определяться индуцированной ЭДС и сопротивлением цепи. Этот ток, взаимодействуя с магнитным полем, создает тормозную силу F_T.Следовательно, для перемещения проводника к нему должна быть приложена сила F,равная и направленная противоположно тормозной силе F_T.Чем меньше сопротивление приемника r, тем больше ток контура I, силы F_Tи F.

3.Направление ЭДС индукции. Направление ЭДС индукции в прямолинейном проводнике определяется по правилу правой руки: если ладонь правой руки нужно расположить так, чтобы магнитные линии входили в нее, а отогнутый под прямым углом большой палец указывал направление движения проводника, то выпрямленные четыре пальца руки укажут направление индуцированной ЭДС (рис. 9.3). Русский академик Э. X. Ленц сформулировал общее правило, устанавливающее направление наведенной ЭДС: при изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в последнем возникает ЭДС такого направления, что обусловленный ею ток противодействует изменению магнитного потока. Рассмотрим пример на применение правила Ленца. На рис. 9.2 замкнутый контур образуется движущимся проводником, шинами A и Б и нагрузкой r. При движении проводника в направлении силы Fмагнитный поток, пронизывающий этот контур, уменьшается. Для противодействия этому индуцируемый ток создает магнитное поле одинакового направления с внешним магнитным полем. Если изменить направление движения проводника, то магнитный поток, пронизывающий замкнутый контур, будет увеличиваться. В этом случае магнитное поле индуцируемого тока направлено навстречу внешнему магнитному полю. Таким образом, чтобы определить направление индуцированной ЭДС, по правилу Ленца сначала определяют направление магнитного поля, создаваемое индуцируемым током. Затем по правилу буравчика определяют направление индуцируемого тока и ЭДС.

4.ЭДС индукции. Допустим, что прямолинейный проводник длиной l движется в однородном магнитном поле со скоростью vперпендикулярно магнитным линиям (см. рис. 9.2). За время d t проводник пройдет путь db. При этом на перемещение проводника затрачивается работа dА = Fdb.При равномерном движении внешняя сила равна тормозной: F= F_T= BIl.Так как скорость движения проводника ,то .Подставив в формулу элементарной работы значения Fи db,получим . Затраченная на эту работу энергия целиком переходит в электрическую: , где е — значение ЭДС в проводнике на отрезке пути db.Приравняв правые части последних уравнений, получим . Отсюда ЭДС индукции

(9.1)

Если проводник движется в плоскости, расположенной под углом к направлению магнитного поля, то индуцируемая ЭДС

(9.2)

Формулу (9.1) можно преобразовать следующим образом:

Произведение ldb выражает площадку dS, которую пересекает проводник при своем движении за время dt.Произведение BdSвыражает магнитный поток dФ, который пронизывает площадку dS. Следовательно, наведенная в проводнике ЭДС

Согласно этой формуле, ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур. Для того чтобы учесть направление ЭДС индукции, перед правой частью равенства ставят отрицательный знак, т. е. .При вычислении по этой формуле ЭДС индукции имеет положительный знак, если магнитное поле индуцируемого тока направлено в сторону внешнего поля. Согласно этому определению, в проводнике (см. рис. 9.2) возникает ЭДС с положительным знаком. Действительно, магнитный поток контура в данном случае уменьшается и скорость его изменения будет отрицательной: ,а ЭДС — положительной: .Если проводник(см. рис. 9.2) перемещать в противоположную сторону, то магнитный поток контура будет увеличиваться, скорость его изменения будет положительной dФ/dt,а ЭДС — отрицательной: е = -dФ/dt.

Если в магнитном поле движется рамка, имеющая wвитков, то ЭДС индукции

Произведение ωdФ называется элементарным потокосцеплениемdψи поэтому

(9.3.)

Таким образом, ЭДС индукции в контуре равна скорости изменения потокосцеплення этого контура. Формула (9.3) является исходной для расчета ЭДС индукции во многих электрических устройствах.

5.Преобразование механической энергии в электрическую. Электромеханическое действие магнитного поля и электромагнитная индукция используются для преобразования механической энергии в электрическую и обратно. Устройства, с помощью которых эти преобразования осуществляются, называются электрическими машинами. Машина для преобразования механической энергии в электрическую называются генератором, а для обратного преобразования — двигателем. На рис. 9.4 представлен простейший генератор переменного тока. Между полюсами электромагнита Nи Sвращается стальной якорь, на поверхности которого расположен виток изолированного провода abcd.