Простая модель развития популяции

Классическая модель роста популяции рассматривает популяцию как единое целое, характеризуемое ее количеством. В природе численность большинст­ва живых существ способна увеличиваться в геометрической профессии, однако рост популяций сдерживают такие факторы, как борьба за существо­вание, болезни и естественная гибель. Обычно если популяция начинает

развиваться в среде с достаточным количеством пищи, то сначала ее чис­ленность растет очень быстро. С течением времени запасы пищи истощают­ся, перенаселенность приводит к условиям, менее благоприятным для вы­живания, плодовитость снижается, смертность увеличивается и достигается равновесное состояние: численность популяции становится более или менее постоянной.

Модель роста популяции можно получить, используя следующий подход:

□ удобно рассматривать численность популяции как непрерывную пере­
менную, что вполне допустимо, если размер популяции велик;

□ будем рассматривать непрерывное время, а не дискретные поколения.
Эти допущения позволяют нам использовать подход системной динамики.

Допустим, что средняя скорость роста популяции при благоприятных усло­виях от рождения новых членов составляет birthRate на одного индивидуу­ма, а интенсивность гибели deathRate. Для того чтобы модель была адек­ватной, рост популяции должен сдерживаться некоторым фактором, который должен увеличиваться с ростом популяции. Простейшее допуще­ние состоит в том, что степень замедления роста популяции в расчете на одного индивидуума пропорциональна размеру популяции. Пусть stabilityFactor — коэффициент замедления роста популяции. Тогда изме­нение объема популяции будет определяться так: d(population)/dt = birth - death; birth = birthRate *population; death = deathRate*population + stabilityFactor*population^/42;

Модель simple population, построенная в соответствии с этими уравне­ниями в AnyLogic, показана на рис. 13.11. Она находится в папке Model Examples\Part IV. На рисунке не показаны источник, из которого поток с интенсивностью burth направляется в накопитель population, и сток из этого накопителя. Они очевидны.

монотонно возрастает, как у экспоненты, а затем постепенно уменьшается до нуля (рис. 13.12). В пределе эта кривая сходится с горизонтальной пря­мой, показывающей то равновесное значение, к которому стремится размер популяции:

(birthRate-deathRate) / stabilityFactor

В реальности скорость роста популяции определяется скоростями размно­жения birthRate и гибели deathRate. Их разность может быть положитель­на, отрицательна или равна нулю, и в зависимости от этого популяция будет расти, уменьшаться или оставаться неизменной. Для построения более адек­ватной модели можно включить в рассмотрение и другие факторы, напри­мер ми фацию.

Логистическая кривая широко используется при описании роста популяций животных и людей. Так, в демографии предпринимались попытки подоб­рать такие кривые для данных о численности населения различных стран (в частности, США) и использовать продолжение полученной кривой для прогноза.

13.8. Более сложная модель развития популяции: демографическая модель города

Очевидно, что построенная ранее модель развития популяции слишком проста, поэтому ожидать от нее высокой адекватности не приходится. Более точные модели должны учитывать и другие факторы, также существенно влияющей на популяцию, например, миграцию. Фактически, миграция

является ортогональным фактором, влияющим на изменение численности населения наряду с рождаемостью-смертностью.

В данном разделе мы рассмотрим демографическую модель города, в ко­торой присутствуют оба этих фактора. Миграция зависит от положения с жильем в городе, а ситуация в жилищном секторе зависит от динамики населения. Таким образом, существуют взаимные зависимости между этими двумя секторами, что типично для сложных систем. Постановка проблемы и логика модели заимствованы из Powersim Sudio Express 2001. Модель population находится в папке Model Examples\Part IV.

Компонент модели, отражающий динамику роста населения, представлен как активный объект Populationsector (рис. 13.13). Единственный накопи­тель здесь — это переменная population, динамика которой зависит от двух факторов: интенсивности рождаемости/смертности и интенсивности имми­грации/эмиграции. Влияние фактора рождаемости/смертности в точности то же, что и в предыдущей модели. Второй фактор учитывает не только коэффициент средней иммиграции (imigrationNorma1), но также и ситуа­цию с жильем в городе. Коэффициент привлекательности города для иммиграции с точки зрения жилья выражается табличной функцией (attractionDueToHousingLookupTable), значение которой, очевидно, умень­шается при увеличении заселенности. Заселенность города (отношение чис­ла семей к числу домов) вычисляется на основе значений переменной houses, которая является входной для данного активного объекта, и среднего количества людей в составе семьи householdsize: householdsToHousesRatio = population / (houses * householdsize)

Компонент модели, отражающий динамику жилья (Housingsector), опреде­ляет количество домов в городе как разницу двух потоков: потока нового строительства (constructionRate) и потока сноса ветхих домов (demolitionRate). Интенсивность нового строительства учитывает как сво­бодную площадь в городе, так и необходимость строительства новых домов из-за их перенаселенности. Две определенные в данном активном объекте табличные функции задают соответствующие зависимости. Эти зависимо­сти, так же, как и другие параметры-константы, определяются эксперимен­тально на этапе калибровки модели.

Корневой активный объект в данной модели включает сектор населения и жилищный сектор, связанные по переменным: динамика в жилищном сек­торе зависит от количества, населения, а это количество зависит от жилищ­ных условий. Запустив модель, вы можете наблюдать кривую Ферхюльста для этой более адекватной модели (рис. 13.15). С помощью слайдеров мож­но исследовать чувствительность модели к изменениям параметров.