Для доказательства основной теоремы этого параграфа потребуется понятие прямой суммы подпространств.
Пусть 
и 
– два подпространства линейного пространства 
. Их суммой 
называется множество всех векторов 
, где 
и 
, т.е. 
Легко проверить, что также будет подпространством L.
Сумма называется прямой, если из того, что 
, где 
и 
следует, что 
и 
.
Определим также и пересечение двух подпространств 
которое также будет подпространством . Именно
и 
ТЕОРЕМА (о прямых суммах подпространств). Сумма подпространств и будет прямой тогда и только тогда, когда 
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – прямая сумма подпространств и , но есть вектор 
такой, что 
Тогда, так как 
также является подпространством, то 
, и получается, что нулевой вектор можно представить двумя различными способами 
. Таким образом, приходим к противоречию определения прямой суммы.
Обратно, пусть , но сумма не прямая. Значит найдется и такие, что , но 
Так как 
и 
, то 
содержит ненулевой вектор 
Опять приходим к противоречию. □
ТЕОРЕМА (о размерности суммы двух подпространств). Размерность суммы двух подпространств пространства равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – подпространства, 
и 
их размерности, а 
размерность их пересечения. Рассмотрим некоторый базис , скажем 
, и дополним его до базисов 
и 
пространств и .
Докажем, что система
, (3)
состоящая из 
векторов является базисом подпространства , тем самым будет доказана и теорема.
Ясно, что любой вектор 
и 
, а значит и вектор 
линейно выражается через векторы системы (3), т.к. содержит базисы и . Осталось проверить, что система (3) линейно независима. Предположим, что
(4)
Пусть 
Понятно, что 
. Но
. (5)
Правая часть этого равенства есть вектор из , т.е. 
. Окончательно, 
. Значит в выражении (5) отсутствуют члены с 
т.е. 
. Отсюда и из (4) заключаем, что
.
Так как система является базисом , то она линейно независима и поэтому 
□
Если сумма прямая, то размерность по теореме о прямых суммах равна 0, и поэтому получаем
СЛЕДСТВИЕ. Размерность прямой суммы двух подпространств равна сумме их размерностей. □
Пусть 
линейный оператор и
Нетрудно проверить, что 
и 
подпространства , называемые областью значений и ядром линейного оператора 
. Размерность называется рангом, а размерность 
дефектом .
ТЕОРЕМА (о ранге и дефекте). Сумма ранга и дефекта линейного оператора φ равна размерности пространства .
ДОКАЗАТНЛЬСТВО. Пусть и 
ранг и дефект . Выберем в базис 
и обозначим через 
векторы такие, что 
Они линейно независимы, т.к. из равенства 
следует, что 
а поскольку линейно независимы, то 
Обозначим через 
подпространство, порожденное векторами 
Они образуют базис и поэтому размерность подпространства равна . По предыдущему следствию достаточно теперь доказать, что является прямой суммой и . покажем, что 
Любой вектор 
имеет вид 
Если 
, то 
, т.е. 
. Но векторы линейно независимы и поэтому 
, откуда 
.
Покажем теперь, что 
. Возьмем вектор 
. Но 
и поэтому 
Пусть 
и 
. Так как 
, то 
. Следовательно 
. Имеем 
, где 
и , что и требовалось доказать. □
