ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц 
и 
одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е. 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательный определитель порядка 
Используя теорему Лапласа, вычислим 
, разлагая его по первым 
строкам. Так как в них лишь один минор 
может быть не равен 
, а его алгебраическое дополнение есть 
, то 
. Используя свойство 9 определителей, добьемся, что все элементы 
обратились в . Для этого 
столбец умножим на 
и прибавим к 
столбцу , и так для каждых 
и 
. Получим
Вычислим 
, разлагая его по последним столбцам. Получим 
, где 
.
Тогда 
и 
. Но нетрудно проверить, что 
. □
Пусть и 
матрицы порядка . Матрица называется обратной для матрицы , если 
. Матрица называется невырожденной, если 
.
ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).
(а) если 
имеет обратную матрицу 
, то - невырожденная;
(б) если обратная матрица для существует, то она единственна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(а) Имеем 
. По теореме о произведении определителей получаем 
. Значит .
(б) Пусть 
также обратная матрица для . Используя ассоциативность умножения матриц, имеем 
. □
Оказывается утверждение (а) можно обратить.
ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица - невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу 
, где
(4)
Иными словами, 
элемент равен алгебраическому дополнению 
элемента , деленному на .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Найдем элемент произведения матрицы на указанную матрицу (4). Он равен
.
Но по следствиям 1 и 2 из теоремы Лапласа сумма в скобках равна , если 
, и равна 0, если 
. Следовательно 
. Аналогично, используя замечание после следствия 2, доказывается, что 
. □
Пример 7.
Дана матрица 
. Её определитель 
, поэтому обратная матрица существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы :
;
;
;
;
.
Тогда 
Линейным уравнением от неизвестных 
называется уравнением вида
.
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
(5)
Эта СЛУ состоит из 
уравнений от неизвестных. Матрица 
, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из 
- свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5) можно записать и в матричном виде
(6)
СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных 
и основная матрица ее невырожденная.
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение 
, которое находится по формулам
,
где 
определитель основной матрицы СЛУ, а 
получается из 
в результате замены в 
столбца на столбец из свободных членов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то существует обратная матрица . Домножая обе части равенства (6) слева на , получим
(7)
Вспоминая, чему равна матрица и находя произведение в правой части (7) получаем
(8)
Но по следствию 1 из теоремы Лапласа числитель (7) есть , если вычислить , разлагая по 
столбцу. □
Пример 8. Решить систему уравнений
Решение. 
т. о. 
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.
Вычислить выражения:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
Вычислить определители:
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
42. 
43. 
44. 
45. 
46. 
47. 
48. 
49. 
Доказать, что система имеет единственное решение, и найти его методом Крамера:
50. 
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
58. Определить, при каких значениях a и b система
1) имеет единственное решение;
2) не имеет решений;
3) имеет бесконечно много решений.
Найти обратные матрицы для следующих матриц:
59. 
60. 
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
Решить матричные уравнения:
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76. 
77. 
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
