Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости (рис. 59).

Рис. 59

 

Прямая М N параллельна плоскости α(Δ АВС), так как она параллельна прямой 1-2, принадлежащей плоскости Δ АВС. У параллельных прямых М N и 1-2 параллельны одноименные проекции.

Прямая параллельна плоскости частного положения, если одна из проекций проведенной прямой параллельна одноименной проекции плоскости, а вторая проекция прямой проводится произвольно (рис. 60).

Рис. 60

 

Пример. Через точку А провести прямую d параллельную каждой из двух пересекающихся плоскостей α(f ∩ h) и β(m ∩ n) (рис. 61).

 

 

Рис. 61                                            Рис. 62

 

Две плоскости общего положения с параллельными фронталями пересекаются по фронтальной прямой, параллельной этим фронталям. Отмечаем общую точку М₁ на пересечении горизонталей h ₁ и n ₁, принадлежащих плоскости проекций П₁. По линии связи находим точку М₂ и через нее параллельно фронтальным проекциям фронталей f ₂ и m₂ строим фронталь k ₂. Горизонтальная проекция фронтали k ₁ проведена параллельно оси х₁₂. Через точку А проводим прямую d ‖ k (рис. 62).

 

 

Параллельность плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны (рис. 63).

 

Рис. 63

 

У параллельных плоскостей параллельны горизонтали и фронтали.

Пример. Через точку N построить плоскость β параллельную плоскости α(АВ ‖ С D) (рис. 64).

Рис. 64

 

Проводим в плоскости α(АВ ‖ С D) прямую k. Прямая АС пересекается с АВ. Затем через точку N проводим прямую а ‖ АВ и прямую b ‖ k. Плоскость β определена двумя пересекающимися прямыми a и b (рис. 65).

 

Рис. 65

 

 

Поверхности

 

Геометрическая форма отдельных предметов представляет собой сочетание простых геометрических тел, ограниченных гранными и кривыми поверхностями.

Из гранных поверхностей наиболее часто встречаются призматические и пирамидальные.

Большое распространение получили и кривые поверхности. Они входят в очертания многих деталей машиностроения и строительных конструкций. 

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений линии, движущейся в пространстве по определенному закону. Линия, формирующая своим движением поверхность, называется образующей. Образующая может быть прямой или кривой линией.

Неподвижные линии, по которым движется образующая, называются направляющими.

1.15.1. Гранные поверхности

 

Гранные поверхности – поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии.

 

           а)                                                                          б)

 

 

Рис. 66

 

Пирамидальная поверхность (рис. 66, а) – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом одна точка образующей – S неподвижна. Элементы пирамидальной поверхности: l – образующая, m – направляющая, S – вершина, ASB – грань, SA – ребро.

Призматическая поверхность (рис. 66, б) образована движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом образующая перемещается параллельно некоторому наперед заданному направлению. Элементы призматической поверхности аналогичны элементам пирамидальной поверхности (вершина S находится в бесконечности).

Геометрическое тело, ограниченное гранной поверхностью, называется многогранником. Плоскости таких поверхностей называются гранями, общие соприкасающиеся стороны смежных граней называются ребрами.

Точка принадлежит поверхности, если она располагается на линии принадлежащей этой поверхности. Для построения точки, лежащей на грани пирамиды в плоскости этой грани проводится прямая, обычно проходящая через вершину пирамиды. На рис. 67 проведена прямая S 1 и на ней отмечена точка М.

                                

Рис. 67

       

Рис. 68

 

На рис. 68 построена линия MNK, принадлежащая поверхности пирамиды.

Для построения точки, лежащей на грани наклонной призмы, в плоскости этой грани выбирается прямая, обычно параллельная ребрам призмы, и на ней строится точка. На рис. 69 в плоскости грани ВС построена прямая, параллельная ребрам и на прямой – точка М.

                 

Рис. 69

 

 

1.15.2. Кривые поверхности

 

В зависимости от вида образующих все кривые поверхности можно подразделить на два класса:

1. Поверхность, у которой образующей является прямая линия – линейчатая поверхность.

2.  Поверхность, образующая которой кривая линия – нелинейчатая поверхность.

Из простейших линейчатых поверхностей мы рассмотрим цилиндрическую и коническую.

Цилиндрическая поверхность общего вида.

Цилиндрическая поверхность образуется в том случае, когда все прямолинейные образующие параллельны между собой (пересекаются в несобственной точке S и пересекают криволинейную (плоскую или пространственную) направляющую m.

Положение точки S задается направлением S (рис. 70).

 

 

Рис. 70

 

Коническая поверхность общего вида.

Данная поверхность образуется тогда, когда прямолинейные образующие пересекаются в собственной точке S и пересекают криволинейную (плоскую или пространственную) направляющую m. Точка S называется вершиной конической поверхности (рис. 71).

 

Рис.71

 

Кривых поверхностей великое множество. Мы будем рассматривать только некоторые – поверхности вращения.

Поверхность вращения образуется вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси – оси поверхности.

Для увеличения наглядности заданной поверхности на эпюре кроме элементов, определяющих поверхность (определитель поверхности), обычно изображают также очерки проекций поверхности (рис. 72).

 

                           

 

Рис. 72

Линии поверхности, которые проецируются в очерк ее проекции, делят поверхность на две части – видимую и невидимую относительно плоскости проекций. Так на рис. 72 образующие SA и SB делят боковую поверхность конуса на видимую и невидимую части относительно плоскости П ₂. А образующие SC и SD относительно плоскости П ₁. На рис. 72 показано построение проекций точки М, принадлежащей поверхности конуса. Для этого проведена образующая S 1 и на ней отмечена точка.

Цилиндрическая поверхность изображена на рис. 73. Для построения точки на поверхности цилиндра нужно провести образующую и отметить на ней точку.Построение проекций точки М показано на рис. 73.

         

 

Рис. 73

 

Сфера в пространстве определяется центром и одной точкой. На рис. 74 сфера задана фронтальным и горизонтальным очерком. Горизонтальным очерком является горизонтальная проекция экватора.Фронтальным очерком является фронтальная проекция главного меридиана. На рис. 74 показаны точки А и В на главном меридиане и зкваторе соотаетственно. Точка М, рсположенная на сфере, находится на окружности, принадлежащей поверхности сферы. При построении точек на сфере следует обращать внимание на то,что в общем случае точка,отмеченная на одной проекции,определяет положение двух точек поверхности.

     

 

Рис. 74

 

Экватор сферы отделяет видимую от невидимой относительно плоскости П ₁, а главный меридиан-видимую от невидимой относительно плоскости П ₂.

Прямой круговой конус показан на рис. 75. Для построения точки М на поверхности конуса можно воспользоваться построением образующей или окружности на поверхности конуса.

              

               

Рис. 75

 

Построение точки на торе показано на рис. 76. По поверхности тора проведена линия а, горизонтальная проекция которой является окружностью, проходящая через точку 1. На этой окружности отмечены точки М и М'.

         

 

Рис. 76

 

Пример 1. Построить недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности наклонного эллиптического цилиндра (рис. 77).

 

 

Рис. 77

 

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии принадлежащей этой поверхности. Для нахождения точки на цилиндре надо провести образующую через заданную точку поверхности.

Точка А₂ принадлежит очерковой образующей, проходящей через точку 1₂. Строим горизонтальную проекцию этой образующей параллельно образующей горизонтального очерка и отмечаем на ней А₁.

Точка С₁ принадлежит очерковой образующей, проходящей через точку 2_{1 .} Строим фронтальную проекцию этой образующей и отмечаем на ней С₂. Проекция С₂ будет не видима, так как лежит на невидимой образующей относительно плоскости проекций П ₂ (рис. 78).

Для нахождения недостающих проекций точек B и D проводим образующие через точки 3 и 4 и отмечаем на них В₁ и D ₂ (рис. 79).

          

 

Рис. 78                                             Рис. 79

 

Пример 2. Построить недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности пирамиды (рис. 80).

 

           

Рис. 80                                                Рис. 81

 

По условию точка М является невидимой. Для нахождения горизонтальной проекции точки М проводим через нее прямую l, проходящую через вершину F. Горизонтальная проекция М₁ отмечена на грани АFB, так как она является невидимой относительно плоскости проекций П _{2 .}

Для нахождения точки N по поверхности пирамиды проводим линию h параллельно СD, принадлежащей плоскости основания АВСD (рис. 81).