Прямая и точка в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с ней две общие точки. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Точка М принадлежит плоскости α (a ∩ b) (рис. 31), так как находится на прямой k, принадлежащей этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая k параллельна прямой АВ (рис. 32).

 

       

Рис. 31                                                                     Рис. 32

 

Точка М принадлежит плоскости Δ АВС, так как находится на прямой k, принадлежащей заданной плоскости.

Прямая b принадлежит фронтально-проецирующей плоскости α(α ₂) (рис.33), прямая с принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости β(β ₁) (рис. 34).

                                 

 

Рис. 33                                                                                   Рис. 34

 

На рис. 35 показана прямая a, принадлежащая плоскости общего положения, заданной пересекающимися прямыми γ(f ∩ h).

 

Рис. 35

 

 

1.10. Главные линии плоскости – горизонталь и фронталь

 

Горизонталь плоскости. Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций. На рис. 36, а, б показано наглядное изображение и эпюр горизонтали, принадлежащей плоскости заданной пересекающимися прямыми f и h. Горизонталь обозначают буквой h. Построение горизонтали начинают с фронтальной проекции, так как она всегда параллельна оси х₁₂. Все горизонтали плоскости параллельны между собой.

 

   а)                                                                         б)

 

   

 

Рис. 36

 

Построение горизонталей в различных плоскостях показано в табл. 8.

Таблица 8

 

Название плоскостей	Эпюр
Горизонтально-проецирующая
Фронтально-проецирующая
Общего положения
Общего положения

 

 

Фронталь плоскости. Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 37, а, б). Фронталь обозначают буквой f. Построение фронтали всегда начинают с горизонтальной проекции, так как она всегда параллельна оси х₁₂. Все фронтали плоскости параллельны между собой.

 

 

   а)                                                                         б)

 

 

Рис. 37

 

Фронтали, расположенные в различных плоскостях показаны в табл. 9

 

Таблица 9

Название плоскости	Эпюр
Фронтально-проецирующая
Горизонтально-проецирующая
Общего положения
Общего положения

 

Пример 1. Построить фронтальную проекцию прямой m, принадлежащей плоскости α(Δ АВС) (рис. 38).

 

Рис. 38                                          Рис. 39

 

Прямая m принадлежит плоскости, если она имеет с ней две общие точки 1 и 2. Отмечаем горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ на сторонах треугольника А₁В₁С₁. Проводим линии связи и отмечаем фронтальные проекции 1₂ и 2₂ на соответствующих сторонах треугольника (рис. 39).

Пример 2. Построить в плоскости a(а ‖ b) точку А, расположенную на расстоянии 15 мм от плоскости П ₁ и 20 мм от плоскости П₂ (рис. 40).

Рис. 40

Для построения точки K, расположенной в плоскости на определенном расстоянии от плоскостей П ₁ и П ₂, необходимо в плоскости провести горизонталь h на расстоянии 15 мм от плоскости проекций П₁ и на расстоянии 20 мм от плоскости проекций П ₂ построить фронталь f. На пересечении горизонтали h и фронтали f отмечаем точку K. На эпюре проводим фронтальную проекцию h ₂ горизонтали h на расстоянии 15 мм от оси проекций x ₁₂. Отмечаем точки 1₂ и 2₂ на проекциях а ₂ и b ₂ и находим проекции 1₁ и 2₁ на а ₁ и b ₁. Горизонтальная проекция h ₁ горизонтали h проходит через точки 1₁ и 2₁.

Рис. 41

 

Затем строим горизонтальную проекцию f ₁ фронтали f на расстоянии 20 мм от оси x ₁₂. Отмечаем пересечение прямой h ₁ с прямой f ₁ – точку K₁. Точку K₂ строим по линии связи на прямой h ₂ (рис. 41).

Пример 3. Достроить фронтальную проекцию пятиугольника АВС DF (рис. 42).

Рис. 42

 

Строим в пятиугольнике прямую С F (C ₁ F ₁ и C ₂ F ₂) и В₁ D _{1 .} На пересечении горизонтальных проекций отмечаем точку 1₁. Фронтальную проекцию 1₂ строим по линии связи на прямой С₂ F ₂. На прямой D ₂ 1₂ отмечаем точку В₂ по линии связи.

Аналогично находим фронтальную проекцию точки А (рис. 43).

 

Рис. 43

 

Пересечение плоскостей

 

Две плоскости пересекаются по прямой. Для нахождения проекций линии пересечения достаточно определить проекции двух общих точек, принадлежащих этим плоскостям.

Пример 1. Построить линию пересечения двух плоских фигур (рис. 44).

Рис. 44

 

Плоскость α (Δ АВС) частного положения (Δ АВС П ₁), плоскость β (Δ MNK ) – общего положения.

Поскольку Δ АВС является горизонтально-проецирующей плоскостью, линия пересечения плоскостей будет принадлежать горизонтальной проекции Δ АВС. Отметим общие горизонтальные проекции Q ₁ и T ₁ на пересечении горизонтальных проекций треугольников АВС и MNK. В проекционной связи отметим фронтальные проекции Q ₂ и T ₂ в Δ M ₂ N ₂ K _{2 .} Линия пересечения QT определена фронтальной Q ₂ T ₂ и горизонтальной проекцией Q ₁ T ₁ (рис. 45).

Рис.45

 

Определим видимость плоских фигур, так как плоскости считаются непрозрачными. Видимость на горизонтальной плоскости проекций определять не надо, так как Δ АВС проецируется в прямую линию, следовательно, проекция M ₁ N ₁ K ₁ видима. Определим видимость плоских фигур на плоскости проекций П ₂. Для этого рассмотрим точки 1 и 2, лежащие на скрещивающихся прямых ВС и М K. Фронтальные проекции 1 ₂ и 2 ₂ совпадают, а горизонтальная проекция 2 ₁ находится перед горизонтальной проекцией 1 ₁. Точка 2 видима относительно плоскости проекций П ₂. Следовательно сторона B ₂ C ₂ видима, фронтальная проекция Δ А ₂ В ₂ С ₂ видима на П ₂ с той стороны, где находятся точки 1 ₂ и 2 ₂. После фронтальной проекции линии пересечения Q ₂ T ₂  становится видимым Δ MNK.

Пример 2. Построить линию пересечения плоскостей α (Δ АВС) и β (Δ DEF) (рис. 46).

Рис. 46

 

Обе заданные плоскости общего положения. Для нахождения двух общих точек можно использовать следующий алгоритм.

Проводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ, пересекающую одновременно заданные плоскости α(Δ АВС) и β(Δ DEF), соответственно, по прямым 1-2 и 3-4. Прямые 1-2 и 3-4 пересекутся в точке М. Построение на эпюре показано на рис. 47.

 

Рис. 47

 

Затем проведем еще одну горизонтальную плоскость δ. Прямая, проходящая через точку 5 параллельна прямой 1-2. Прямая, проходящая через точку 6 параллельна прямой 3-4. Получим точку N. Соединив точки М и N, получим искомую прямую МN. Решение задачи на эпюре показано на рис. 48.

Рис. 48

 

Пример 3. Построить линию пересечения плоскостей α ‖ П ₁ и β (f ∩ h) (рис. 49).

Плоскость общего положения и горизонтальная плоскость пересекаются по горизонтальной прямой.

Рис. 49

 

Через горизонтальную проекцию 1₁ общей точки 1 проведем h ₁ ^*‖ h ₁. Фронтальная проекция горизонтали h₂ ^* совпадает с фронтальной проекцией плоскости α. Наглядное изображение показано на рис. 50.

 

Рис. 50

 

Пример 4. Построить линию пересечения плоскостей α(Δ АВС) и β(а ∩ b) (рис. 51).

 

                            

 

Рис. 51                                                                                            Рис. 52

 

По чертежу определяем положение плоскостей в пространстве. Плоскость α(Δ АВС) – общего положения, плоскость β(а∩ b) перпендикулярна плоскости проекций П ₂. Любая прямая, принадлежащая фронтально-проецирующей плоскости β(а∩ b) будет принадлежать фронтальной проекции плоскости. Следовательно, фронтальную проекцию линии пересечения М ₂ N ₂ отмечаем на пересечении фронтальной проекции треугольника А ₂ В ₂ С ₂и фронтальной проекции плоскости β (а∩ b). В проекционной связи отмечаем горизонтальные проекции точек М₁ и N ₁ на соответствующих сторонах Δ АВС (рис. 52).