Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.

 

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

.                                                                          (4.4)

 

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

 

.                                                                        (4.5)

 

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

 

.                                                                (4.6)

 

Пример. Пусть  и  - независимые случайные величины с математическими ожиданиями . Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение.

.

 

Дисперсия случайной величины.  Для решения многих практических задач бывает недостаточно знание только математического ожидания. Например, пусть даны две случайные величины Х и

 

	-1	3
	0,5	0,5

	-49	51
	0,5	0,5

 

Найдем математические ожидания:

 

.

 

Следовательно, совершенно разные случайные величины имеет одинаковое математическое ожидание.

Для сравнения этих величин введем еще одну характеристику случайной величины, позволяющую оценить разброс (рассеяние) значений случайной величины относительно её среднего значения, т.е. оценить . В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания, так как оно равно нулю.

Дисперсией  случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

 

.                                                                 (4.7)

 

Дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние») есть мера рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для практических вычислений дисперсии удобна другая формула:

 

.                                    (4.8)

 

Если случайная величина - дискретная с конечным числом значений, то

.

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности самой случайной величины, что не всегда удобно.

 

Средним квадратическим отклонением (квадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартом)  случайной величины называется арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии

 

                                                                        (4.9)

 

Пример. Бросают две монеты достоинством 2 и 5 рублей. Если монета выпадает гербом, то начисляют ноль очков, а если цифрой, то число очков, равное достоинству монеты. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков.

Решение. Найдем вначале распределение случайной величины Х – числа очков. Все комбинации – (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - равновероятны и закон распределения:  

 

 

Математическое ожидание:

.

Дисперсию найдем по формуле , для чего вычислим , тогда .

 

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

 

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: 

 

.

 

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

 

.