Аннулирующий многочлен подпространства

Будем говорить, что многочлен p (t) аннулирует подпространство W, если он аннулирует каждый вектор из W. Аннулирующий многочлен подпространства W наименьшей степени называется минимальным аннулирующим многочленом подпространства W. Как и минимальный аннулирующий многочлен вектора, минимальный аннулирующий многочлен подпространства определен с точностью до множителя. Для определенности, будем считать старший коэффициент минимального аннулирующего многочлена подпространства равным 1.

Свойство 10.2. Аннулирующий многочлен подпространства делится без остатка на минимальный аннулирующий многочлен этого же подпространства.

Доказательство. Пусть f (t) –аннулирующий многочлен, а p (t) – минимальный аннулирующий многочлен. Разделим f (t) на p (t) с остатком f (t)= p (t) g (t)+ r (t). Тогда для вектора x из W справедливо равенство  . Так как степень r (t) меньше степени p (t), и многочлен r (t) аннулирует любой вектор x из W, то единственная возможность r (t)=0.

Теорема 10.3. Минимальный аннулирующий многочлен подпространства равен наименьшему общему кратному минимальных аннулирующих базисных векторов.

Доказательство. Пусть  - базис подпространства W, h - минимальный аннулирующий многочлен подпространства W,а  - минимальный аннулирующий многочлен вектора , где i =1,…, k. Многочлены  являются делителями h (t) (Свойство 10.1). С другой стороны, наименьшее общее кратное этих многочленов аннулирует все базисные векторы, а значит и любой вектор из W.

Следствие 10.2. Минимальный аннулирующий многочлен подпространства является делителем характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть  - базис подпространства W, а  - минимальный аннулирующий многочлен вектора , где i =1,…, k. Многочлены  являются делителями характеристического многочлена (Теорема 10.2), следовательно, характеристический многочлен делится и на их наименьшее общее кратное, равное минимальному аннулирующему многочлену подпространства.

Если в качестве подпространства взять все пространство, то минимальный аннулирующий многочлен подпространства называется минимальным аннулирующим многочленом.

Следствие 10.3. Минимальный аннулирующий многочлен является делителем характеристического многочлена и имеет то же самое множество корней.

Доказательство очевидно.

Функции от матриц

Пусть f (t) некоторый многочлен, и требуется вычислить значение матрицы A от этого многочлена. В арифметическом пространстве матрица A задает линейное преобразование. Обозначим через g (t) минимальный аннулирующий многочлен этого преобразования. Разделим многочлен f (t) на g (t) с остатком f (t)= h (t) g (t)+ r (t). При подстановке матрицы A получим равенство f (A)= h (A) g (A)+ r (A)= r (A). Таким образом, вычисление значения многочлена от матрицы сводится к вычислению значению его остатка. Остаток от деления r (t) можно вычислить как интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра от корней минимального многочлена.

Ничего не изменится в проведенных рассуждениях, если вместо многочлена f (t) использовать произвольную функцию, значения которой, а также значения ее производных соответствующих порядков, определены на множестве корней минимального многочлена.

В некоторых случаях в качестве минимального многочлена берут характеристический многочлен.