Линейное преобразование называется ортогональным (унитарным) если оно сохраняет скалярное произведение, то есть 
. Из определения выводим 
или 
. Таким образом ортогональное преобразование является нормальным.
Свойство 8.6. Собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1.
Доказательство. Пусть 
, тогда 
, и, значит, 
.
Следствие 8.1. Ортогональное преобразование евклидова пространства, в некотором ортонормированном базисе, сводится к выполнению последовательности тождественных преобразований, симметрий и поворотов в координатных плоскостях.
Доказательство. Ортогональное преобразование нормально, следовательно, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Блоки первого порядка соответствуют вещественным собственным числам, а блоки второго порядка – комплексным числам. Так как собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1, то по главной диагонали могут стоять либо 1, либо -1, либо блок второго порядка 
. Для доказательства осталось заметить, что геометрический смысл указанных преобразований как раз и есть тождественные преобразования, симметрии и повороты в координатных плоскостях.
Самосопряженное преобразование.
Линейное преобразование называется самосопряженным, если 
.
Свойство 8.7. Собственные числа самосопряженного преобразования – вещественны.
Доказательство. Пусть x –собственный вектор самосопряженного преобразования 
(т.е. ). Из равенств 
выводим 
, то есть 
.
Следствие 8.2. Для самосопряженного линейного преобразования евклидова пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказательство. Самосопряженное преобразование является нормальным, и значит, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Поскольку все собственные числа вещественные, то все блоки первого порядка.
Полярное разложение
Самосопряженное преобразование называется положительно определенным, если 
.
Следствие 8.3. Все собственные числа положительно определенного самосопряженного линейного преобразования неотрицательны.
Доказательство. Пусть , тогда 
, и, значит, 
.
Теорема 8.3. (извлечение корня) Для положительно определенного самосопряженного линейного преобразования существует единственное положительно определенное самосопряженное преобразование 
, что 
.
Доказательство. Пусть 
- ортонормированный базис линейного пространства, в котором матрица - диагональная. Пусть 
. Все числа стоящие на главной диагонали неотрицательны. Положим 
. Легко убедиться, что линейное преобразование является положительно определенным самосопряженным преобразованием и . Единственность очевидна.
Теорема 8.4 (полярное разложение) Любое линейное преобразование можно представить в виде произведения самосопряженного положительно определенного линейного преобразования и ортогонального преобразования 
. Если - невырожденное, то представление единственно. Разложение 
называется правым, а разложение 
- левым.
Доказательство. Преобразование 
является самосопряженным и положительно определенным. Построим ортонормированный базис преобразования , при этом расположим собственные векторы, соответствующие нулевому собственному значению в конце базиса. Пусть 
- собственные векторы с не нулевыми собственными значениями, а 
- собственные векторы с нулевым собственным значением. Матрица 
- диагональная, поэтому первые k строк матрицы 
образуют ортогональную систему, а остальные равны 0. Длина j строки равна 
. Обозначим через 
первые k строк матрицы и дополним ортонормированную систему векторов 
векторами 
до ортонормированного базиса всего пространства. Обозначим через ортогональное преобразование, матрица которого в базисе образована строками 
, а через - положительно определенное самосопряженное преобразование, матрица которого в базисе диагональная и равна 
. Легко убедиться, что .
Для построения левого разложения достаточно найти правое разложение для сопряженного преобразования.
Поскольку 
, то преобразование определяется единственным образом. Если преобразование - невырожденное, то преобразование невырожденное, и, значит, 
определяется единственным образом.
