Ортогональные преобразования

Линейное преобразование называется ортогональным (унитарным) если оно сохраняет скалярное произведение, то есть . Из определения выводим  или . Таким образом ортогональное преобразование является нормальным.

Свойство 8.6. Собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1.

Доказательство. Пусть , тогда , и, значит, .

Следствие 8.1. Ортогональное преобразование евклидова пространства, в некотором ортонормированном базисе, сводится к выполнению последовательности тождественных преобразований, симметрий и поворотов в координатных плоскостях.

Доказательство. Ортогональное преобразование нормально, следовательно, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Блоки первого порядка соответствуют вещественным собственным числам, а блоки второго порядка – комплексным числам. Так как собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1, то по главной диагонали могут стоять либо 1, либо -1, либо блок второго порядка . Для доказательства осталось заметить, что геометрический смысл указанных преобразований как раз и есть тождественные преобразования, симметрии и повороты в координатных плоскостях.

Самосопряженное преобразование.

Линейное преобразование называется самосопряженным, если .

Свойство 8.7. Собственные числа самосопряженного преобразования – вещественны.

Доказательство. Пусть x –собственный вектор самосопряженного преобразования  (т.е. ). Из равенств  выводим , то есть .

Следствие 8.2. Для самосопряженного линейного преобразования евклидова пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство. Самосопряженное преобразование является нормальным, и значит, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Поскольку все собственные числа вещественные, то все блоки первого порядка.

Полярное разложение

Самосопряженное преобразование  называется положительно определенным, если .

Следствие 8.3. Все собственные числа положительно определенного самосопряженного линейного преобразования неотрицательны.

Доказательство. Пусть , тогда , и, значит, .

Теорема 8.3. (извлечение корня) Для положительно определенного самосопряженного линейного преобразования  существует единственное положительно определенное самосопряженное преобразование , что .

Доказательство. Пусть  - ортонормированный базис линейного пространства, в котором матрица  - диагональная. Пусть . Все числа стоящие на главной диагонали неотрицательны. Положим . Легко убедиться, что линейное преобразование  является положительно определенным самосопряженным преобразованием и . Единственность очевидна.

Теорема 8.4 (полярное разложение) Любое линейное преобразование  можно представить в виде произведения самосопряженного положительно определенного линейного преобразования  и ортогонального преобразования . Если  - невырожденное, то представление единственно. Разложение  называется правым, а разложение  - левым.

Доказательство. Преобразование  является самосопряженным и положительно определенным. Построим ортонормированный базис  преобразования , при этом расположим собственные векторы, соответствующие нулевому собственному значению в конце базиса. Пусть  - собственные векторы с не нулевыми собственными значениями, а  - собственные векторы с нулевым собственным значением. Матрица  - диагональная, поэтому первые k строк матрицы  образуют ортогональную систему, а остальные равны 0. Длина j строки равна . Обозначим через  первые k строк матрицы  и дополним ортонормированную систему векторов  векторами  до ортонормированного базиса всего пространства. Обозначим через  ортогональное преобразование, матрица которого в базисе  образована строками , а через  - положительно определенное самосопряженное преобразование, матрица которого в базисе  диагональная и равна . Легко убедиться, что .

Для построения левого разложения достаточно найти правое разложение для сопряженного преобразования.

Поскольку , то преобразование  определяется единственным образом. Если преобразование  - невырожденное, то преобразование  невырожденное, и, значит,  определяется единственным образом.