Приведение квадратичных форм

Приведение квадратичных форм к главным осям.

Рассмотрим квадратичную форму . Матрица A является симметричной. Линейное преобразование, заданное матрицей A, является самосопряженным и для этого преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Другими словами, найдется ортогональная матрица T (), что , где  - собственные числа A. Поскольку , то квадратичная форма  ортогональной заменой  переходит в форму . Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием называется приведением к главным осям. Полученный факт оформим в виде теоремы.

Теорема 9.1. Квадратичная форма  при помощи ортогонального преобразования всегда может быть приведена к канонической форме , де  - собственные числа A.

Отметим, что для квадратичной формы выполняется закон инерции. Следовательно, используя теорему Якоби, можно определить число положительных и число отрицательных собственных значений. Собственные значения матриц A и A - tE отличаются на t, поэтому, определяя число положительных и отрицательных собственных значений матрицы A - tE, мы, тем самым, определим количество собственных значений матрицы A меньших t. Выбирая различные t можно найти собственные числа с любой точностью.

 

Приведение пары квадратичных форм

Рассмотрим задачу выбора базиса в котором пара квадратичных форм имеют диагональный вид. Не все пары квадратичных форм можно одновременно привести к диагональному виду, например, формы  и xy привести нельзя.

Первый способ

Пусть даны квадратичные формы  и , причем квадратичная форма  - положительно определена. Тогда введем скалярное произведение  и найдем ортонормированный базис, а затем приведем первую квадратичную форму к главным осям. Поскольку ортогональное преобразование не меняет скалярное произведение, то обе квадратичные формы будут приведены к каноническому виду.

Пучок матриц

Пусть даны квадратичные формы  и . Рассмотрим пучок квадратичных форм . Если квадратичные формы  и  заменой координат x = Py приводятся к каноническому виду, то все формы из пучка  приводятся к каноническому виду этой же заменой координат. Пусть  и , тогда . Из последнего равенства выводим , то есть многочлен  раскладывается на линейные множители над полем вещественных чисел. Из равенства  выводим, что i -ый столбец матрицы P удовлетворяет однородной системе уравнений . Таким образом, получается следующий алгоритм приведения пары квадратичных форм к нормальному виду.

1. Раскладываем многочлен  на линейные множители. Если разложения не существует, то искомой замены координат не существует.
2. Для каждого линейного множителя  многочлена  находим базис подпространства . Если размерность подпространства меньше кратности множителя, то искомой замены координат не существует. В противном случае, будет построен базис, в котором квадратичные формы имеют нормальный вид.

Для обоснования этого подхода требуется показать, что объединение линейно независимых систем векторов, соответствующих разным линейным множителям, образует линейно независимую систему. Доказательство проводится также как и для собственных векторов.

Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.

Рассмотрим задачу упрощения уравнения квадрики с использованием ортогональным преобразованием системы координат. Отметим, что при ортогональной замене координат сохраняются метрические характеристики.

 Опишем алгоритм приведения квадрики  к простейшему виду ортогональным преобразованием.

1. Приводим квадратичную форму  к главным осям ортогональным преобразованием . В результате получим уравнение квадрики , где , k – ранг матрицы A, а  - ее ненулевые собственные числа.
2. Сдвигом начала координат  при  и  при i > k приведем квадрику к виду , где . Если  при i > k, то конец, а иначе перейдем на следующий шаг.
3. Положим . Система векторов  - ортонормированная. Дополним ее до ортонормированного базиса всего пространства. Пусть T – матрица перехода к новому базису. Сделаем замену переменных . Очевидно, сделанная замена является ортогональной. В новой системе координат уравнение квадрики .

Оформим доказанное выше в виде теоремы.

Теорема 9.2. Ортогональным преобразованием, сдвигом начала координат и умножением на ненулевое число уравнение квадрики приводится к одному из следующих четырех видов , , , .

Обозначим через  сумму всех главных миноров k -го порядка матрицы A. Величина  является коэффициентом характеристического многочлена  при .

Пусть квадрика  ортогональным преобразованием x = h + Ty приводится к виду , где , , . Поскольку T ортогональная матрица, то , и, значит, , где k = 1,…, n. Кроме того, , и, следовательно, . Тем самым установлен следующий факт.

Свойство 9.1 При ортогональном преобразовании не меняются следующие величины , где k = 1,…, n, и , которые называются ортогональными инвариантами квадрики.

К сожалению, ортогональные инварианты не всегда позволяют установить простейший тип квадрики.

Свойство 9.2. Пусть  и , тогда  не меняется при ортогональном преобразовании.

Доказательство. При ортогональном преобразовании (без сдвига) величины  не меняются. Пусть квадратичная форма  приводится к главным осям ортогональной заменой координат . Пусть  - ортогональное преобразование квадрики. Поскольку , то для доказательства утверждения достаточно рассмотреть случай, когда  - диагональная матрица и преобразование заключается в сдвиге на вектор h начала координат. Если , то . В этой матрице единственный минор k порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение в данном случае доказано. Пусть , тогда . В этой матрице единственный минор k порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение и в данном случае доказано.

Величины  называются полуинвариантами ортогонального преобразования.

Набор инвариантов и полуинвариантов квадрики позволяет однозначно установить простейшее уравнение квадрики.