| Теория | Практика |
Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.
Решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Системы уравнений с двумя переменными можно решать: а) графическим способом;
б) способом подстановки;
в) способом сложения (вычитания).
Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему.
Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.
Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно помнить алгоритм решения этим способом:
1.Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую.
2.Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени
3.Решают получившееся уравнение.
4. Находят соответствующие значения второй переменной.
Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени.
| 1. Решим систему уравнений
Решение: Выразим из второго уравнения переменную x через y:  .
Подставим в первое уравнение вместо x выражение  , получим уравнение с переменной y:
 .
После упрощения получим равносильное уравнение
 .
Решив его, найдем, что  ,  . Подставив в формулу   , получим:  .
Подставив в формулу ;  , получим:
 .;Итак система имеет два решения:
 , и  , . Ответ можно записать также в виде пар:  ,  .
Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения.
2. Решим систему уравнений
Решение: Т.К.  , выразим из второго уравнения переменную y через x:  .; Подставим в первое уравнение вместо y выражение  .
Получим уравнение относительно x:  .  ,  .
По формуле находим y:
 ,  .
Значит, система имеет два решения:
 , и  , .
Ответ:  ,  .
3. Вычислите координаты точки В.
Решение. Точка В является пересечением прямых  и  . Решив систему  , найдем, что  ;  .
Ответ: В (-3,4;0,4).
4. Решите систему уравнений  .
Решение. Преобразуем второе уравнение системы  к виду  . Подставим в него  . Выполнив преобразования, получим систему:
 .
Решив эту систему, получим: (-2;6), (3;-4).
Ответ: (-2;6), (3;-4). Возможна запись ответа в другом виде:  ,  , ,  , или  и  .
Другое возможное решение. Выразим из первого уравнения одну из переменных через другую, например,  . Подставим во второе уравнение системы, получим уравнение  . После преобразований получим квадратное уравнение  .
Найдем корни данного уравнения и соответствующие значения y, получим: (-2;6), (3;-4).
|
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 10) Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением 
. Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите соответствующее ей утверждение.
А) 
1) Система имеет одно решение
Б) 
2) Система имеет два решения
В) 
3) Система не имеет решений
| А | Б | В |
Ответ:
2. Для каждой системы уравнения определите число ее решений (используйте графические соображения). В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
А) 
1) Нет решений
Б) 
2) Одно решение
В) 
3) Два решения
| А | Б | В |
Ответ:
3. Вычислите координаты точки В. 
Ответ:______________
4. На рисунке изображен график функции 
. Вычислите абсциссу точки А.
Ответ:_________
5. На рисунке изображен график функции 
. Вычислите абсциссу точки А.
Ответ:_________
6. Решите систему уравнений: 
Ответ:_________
7 -10. Решите способом подстановки систему уравнений:
7. 
8. 
9. 
10. 
11. Решите систему уравнений: 
1) (5;-3), (-5;3) 2) (-5;7), (3;-1)
3) (5;-3), (-3;5) 4) (-5;7), (5;-7)
12. Решите систему уравнений: 
1) (6;2), (-6;-2) 2) (-2;-6), (6;2)
3) (6;-2), (2;-6) 4) (-6;-10), (2;-2)
13. Для каждой системы уравнений определите число ее решений (используйте графические соображения).
В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
А) 
Б) 
В) 
1) Два решения 2) Одно решение 3) Нет решений
Ответ:
| А | Б | В |
14. На рисунке изображен график функции у = 5х2 + 14х - 3. Вычислите абсциссу точки А.
Ответ:______________
15. Решите систему уравнений: 
. Ответ:___________
Вернуться в содержание
Тема 11 Составление уравнения по условию текстовой задачи
| Теория | Практика |
Решение сложных задач целесообразно начать с повторения алгоритма решения системы уравнений с 2-мя неизвестными:
-Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных);
-Выразить через нее другие величины;
-Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин;
-Решить уравнение (или систему уравнений);
-Сделать проверку при необходимости;
-Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи;
-Оформить ответ.
2. Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что
 ,  где:
 – скорость по течению реки;
 – скорость объекта при движении против течения реки;
 – собственная скорость движущегося объекта;
 – скорость течения реки.
| 1. Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь против течения реки лодка затратила на 1 ч больше, чем на обратный путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.
1)  2) 
3)  4) 
Решение. x (км/ч) — собственная скорость лодки, тогда  (км/ч) — скорость по течению,  (км/ч) — скорость против течения.
Расстояние между причалами 14 км, следовательно,
 (ч) — время движения лодки по течению;
 (ч) — время движения лодки против течения.
Время движения лодки против течения больше, чем по течению, на 1 час, поэтому составим уравнение: .
Ответ: 2.
2. Прочитайте задачу: «От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 5 ч. На мопеде он мог бы проехать это расстояние за 3 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч больше, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?»
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от турбазы до станции.
1)  3) 
2)  4) 
Решение. Пусть х км — расстояние от турбазы до станции. Тогда  км/ч — скорость, с которой турист едет на велосипеде;  км/ч — скорость, с которой турист едет на мопеде. Известно, что скорость на мопеде на 8 км/ч больше скорости на велосипеде: запишем уравнение .
Уравнение может быть записано и в другом виде, например,  , но его легко преобразовать к виду: .
Ответ: 3.
|
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 11) Прочитайте задачу: «Фотография имеет форму прямоугольника со сторонами 10 см и 15 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг всей фотографии получилась белая окантовка одной и той же ширины. Площадь, которую занимает фотография с окантовкой, равна 500 см2. Какова ширина окантовки?».
Пусть ширина окантовки равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
2. Прочитайте задачу.
Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов.
Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.
1) 
2) 
3) 
3. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 20 см. Длины его смежных сторон относятся как 3: 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
3) 
2) 
4) 
4. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 3: 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
5. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 4: 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
6. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 4: 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
7. Прочитайте задачу: «В трех группах детского сада 70 детей. В старшей группе в 3 раза меньше, чем в старшей, а в средней на 15 больше, чем в младшей. Сколько детей в старшей группе?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число детей в старшей группе?
1) 
2) 
3) 
4) 
8. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 2: 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
9. Прочитайте задачу: «В первый день школьник прочитал 29 страниц, во второй – 34 страницы, и вместе это составило 0,3 числа страниц в книге. Сколько страниц в книге?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число страниц в книге?
1) 
2) 
3) 
4) 
10. В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик – по 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева, Сколько в классе девочек?
Пусть в классе х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 
Б. 
В. 
Г. 
11. В спортивной секции занимается 26 детей. Каждая девочка имеет по 2 медали, а каждый мальчик – по 3 медали. Всего мальчики и девочки имеют 68 медалей. Сколько в секции занимается мальчиков?
Пусть в секции х мальчиков. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 
Б. 
В. 
Г. 
12. В кружке занимается 20 детей. К празднику каждая девочка сделала по 4 сувенира, а каждый мальчик – по 3 сувенира. Всего было сделано 72 сувенира. Сколько в кружке занималось девочек?
Пусть в кружке х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 
Б. 
В. 
Г. 
Вернуться в содержание
