Глава I. Обзор основных проблем 16 страница

тарности всех базисных высказываний можно было ^бы

предложить выбрать некоторый класс высказываний в

168

качестве класса элементарных или атомарных, высказы-

ваний 17, из которых все остальные высказывания мож-

но было бы получить при помощи конъюнкции и других

логических операций. Если бы нам это удалось, тогда

мы смогли бы тем самым определить «абсолютный

нуль» неэлементарности, а неэлементарность любого

высказывания могла бы быть выражена, так сказать,

через абсолютные степени неэлементарности* 18. Однако

по ранее указанной причине такую процедуру следует

рассматривать как совершенно неудовлетворительную,

так как она накладывает серьезные ограничения на

свободное использование научного языка* 19.

И все же имеется возможность сравнивать степени

неэлементарности базисных высказываний, а тем самым

и всех других высказываний. Это можно сделать, про-

извольно выделив класс относительно атомарных вы-

сказываний, которые будут использоваться как основа-

17 «Элементарные предложения» рассматриваются в «Логико-

философском трактате» Витгенштейна: «Предложение есть функция

истинности элементарных предложений» [95, с. 61], а «атомарные

предложения» (в противоположность неэлементарным «молекуляр-

ным предложениям») — в «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассе-

ла [92, т. I, с. XV]. Огден перевел витгенштейновский термин

«Elementarsatz», как «элементарное предложение» («elementary proposition

») (см. [95, с. 553]), тогда как Рассел в своем предисловии

к [95, с. 16] переводит его как «атомарное предложение» («atomic

proposition»). Последний термин получил широкое распространение.

* 18 Абсолютные степени неэлементарности, конечно, определили

бы абсолютные степени содержания и, следовательно, абсолютные

степени невероятности. Такая программа введения понятия невероят-

ности, а значит, и понятия вероятности посредством выделения не-

которого класса абсолютных атомарных высказываний (ранее наме-

ченная Витгенштейном) в последнее время разрабатывалась Карна-

пом с целью построения теории индукции [17]. В предисловии к

английскому изданию этой моей книги я указывал на то, что третий

модельный язык (карнаповскаяязыковая система) не позволяет вы-

разить^ измеряемые свойства (он не позволяет также — в своей совре-

менной форме — ввести пространственный и временной порядок.

* 19 Словосочетание «научный язык» используется здесь в обы-

денном значении, и его не следует интерпретировать в техническом

смысле как то, что ныне называется «языковой системой». Более того,

моя основная позиция состоит в том, что мы должны хорошо по-

мнить о том, что ученые не могут пользоваться «языковой системой»,

поскольку им постоянно приходится изменять свой язык с каждым

новым шагом, который они делают. Понятия «материя» и «атом»

осле Резерфорда, «материя» и «энергия» после Эйнштейна стали

значать нечто совершенно отличное от того, что они означали ра-

е · -значение этих понятий есть функция постоянно изменяющейся

•теории.

169

ние для сравнения. Такой класс относительно атомар-

ных высказываний можно определить при помощи

порождающей схемы или матрицы (ее можно пояснить

следующим примером: «В месте... существует измери-

тельное устройство для... указательная стрелка которо-

го расположена между отметками шкалы... и...»). С ее

помощью относительно атомарные и, следовательно,

равно неэлементарные высказывания можно определить

как класс всех высказываний, получающихся из такого

рода матрицы (или функции высказывания) при под-

становке в нее определенных значений. Класс таких вы-

сказываний вместе со всеми конъюнкциями, которые

могут быть составлены из членов этого класса, можно

назвать «областью». Конъюнкцию n различных отно-

сительно атомарных высказываний некоторой области

можно назвать «n-кой, принадлежащей данной обла-

сти», и мы можем сказать, что степень неэлементарности

этой коньюнкции равна числу п.

Если для теории t существует область сингулярных

высказываний (но необязательно базисных высказыва-

ний), таких, что для некоторого числа а теория t не

может быть фальсифицирована никакой d-кой из дан-

ной области, но она может быть фальсифицирована не-

которыми ci+1-ками, то мы назовем d характеристиче-

ским, числом теории по отношению к этой области. Все

высказывания данной области, чья степень неэлемен-

тарности меньше или равна d, являются в таком случае

совместимыми с теорией и допускаются ею безотноси-

тельно к их содержанию.

Итак, возможно проводить сравнение степени про-

веряемости теорий, исходя из характеристического чис-

ла d. Однако для того чтобы избежать противоречий,

могущих возникнуть при использовании различных об-

ластей, необходимо ограничиться более узким поня-

тием, чем понятие области, а именно понятием области

применения. Если дана теория t, то мы будем говорить,

чта некоторая область является областью применения

теории t, если существует характеристическое число d

теории t по отношению к этой области и если к тому

же эта область удовлетворяет некоторым другим усло-

виям, которые формулируются в [70, прил. I].

Характеристическое число d теории t по отношению

к некоторой области применения я буду называть раз-

мерностью t по отношению к этой области применения.

170

Выражение «размерность» хорошо подходит для опи-

сания данной ситуации потому, что мы можем пред-

ставить все возможные ге-ки, принадлежащие опреде-

ленной области, как пространственно упорядоченные

(в бесконечном конфигурационном пространстве). Если,

к примеру, d = 3, то высказывания, являющиеся прием-

лемыми на том основании, что их степень неэлементар-

ности слишком мала, образуют трехмерное подпро-

странство данной конфигурации. Переход от d = 3 к

d = 2 соответствует переходу от трехмерного простран-

ства к плоскости. Чем меньше размерность d, тем более

жестко ограничен класс тех допустимых высказываний,

которые безотносительно к их содержанию не могут

противоречить теории по причине своей малой степени

неэлементарности, и тем выше будет степень фальси-

фицируемости данной теории.

Понятие области применения не ограничивается ба-

зисными высказываниями. Сингулярные высказывания

всех других типов могут быть высказываниями, при-

надлежащими к области применения. Сравнивая их

размерности при помощи данной области, мы можем

оценить степень неэлементарпости базисных высказы-

ваний. (Мы предполагаем, что сингулярным высказы-

ваниям, обладающим высокой степенью неэлементар-

ности, соответствуют базисные высказывания, также

обладающие высокой степеньюнеэлементарности.) Та-

ким образом, можно предположить, что теории большей

размерности соответствует класс базисных высказыва-

ний большей размерности, таких, что все высказыва-

ния, принадлежащие этому классу, допускаются тео-

рией независимо от того, что они утверждают.

Это ответ на вопрос о том, каким образом соотно-

сятся два метода сравнения степеней проверяемости

теорий: метод, основывающийся на понятии размер-

ности теории, и метод, основывающийся на отношении

включения классов. Мы еще встретимся со случаями,

когда неприменим ни один из них или применим только

один из этих двух методов сравнения. В таких случаях,

конечно, нет места для конфликта между этими мето-

дами. Однако если в некотором конкретном случае при-

менимы оба метода, то вполне может случиться, что

две теории одинаковой размерности могут тем не менее

иметь разные степени фальсифицируемое™, когда мы

оцениваем их с помощью метода, основанного на отно-

171

шении включения классов. В таких случаях следует при-

нимать результат, полученный на основе второго мето-

да, так как он является более чувствительным методом.

Во всех других случаях, в которых применимы оба ме-

тода, они должны вести к одному и тому же резуль-

тату, так как можно доказать с помощью простой тео-

ремы теории размерности, что размерность некоторого

класса должна быть больше или равна размерности

его подклассов (см. [52, с. 81])* 20.

39. Размерность множества кривых

В некоторых случаях мы можем достаточно просто

отождествить то, что я назвал «областью применения»

некоторой теории, с областью ее графического пред-

ставления, то есть с пространством миллиметровой бу-

маги, на которой мы представляем теорию с помощью

графиков. Каждая точка такой области графического

представления считается соответствующей одному отно-

сительно атомарному высказыванию. При этом размер-

ность теории по отношению к этой области (ее опреде-

ление см. в [70, прил. I]) тождественна размерности

множества кривых, соответствующих теории. Я рас-

смотрю эти отношения при помощи двух высказываний

q и s, которые были сформулированы в разд. 36. (Про-

водимое нами сравнение размерностей применяется к

высказываниям с различнымипредикатами.) Гипотеза

q, согласно которой все планетарные орбиты являются

окружностями, трехмерна, поскольку для ее фальсифи-

кации необходимы по крайней мере четыре принадле-

жащих данной области сингулярных высказывания,

соответствующих четырем точкам ее графического пред-

ставления. Гипотеза s, согласно которой все планетар-

ные орбиты являются эллипсами, пятимерна, поскольку

для ее фальсификации необходимы по крайней мере

шесть сингулярных высказываний, соответствующих

шести точкам на графике. В разд. 36 мы установили,

что q легче фальсифицируема, чем s (поскольку все

окружности являются эллипсами, возможно проводить

сравнение этих гипотез на основе отношения включе-

* 20 Предполагается, что условия, при которых эта теорема вер-

на, всегда выполняются «пространствами», с которыми мы здесь име-

ем дело.

172

ния классов). Использование размерностей дает нам

возможность сравнить теории, которые мы прежде срав-

нивать не могли. Так, например, мы можем теперь

сравнить гипотезу об окружностях с гипотезой о пара-

болах (которая является четырехмерной). Каждое из

слов «окружность», «эллипс», «парабола» обозначает

класс или множество кривых, и каждое из этих мно-

жеств имеет размерность а, если а точек необходимы

и достаточны для того, чтобы выделить или охаракте-

ризовать одну конкретную кривую, принадлежащую

данному множеству. При алгебраическом представле-

нии размерность множества кривых зависит от числа

параметров, значения которых можно произвольно вы-

бирать. Следовательно, можно сказать, что число сво-

бодно детерминируемых параметров множества кривых,

при помощи которых представляется теория, является

характеристическим для степени фальсифицируемости

(или проверяемости) данной теории.

В связи с высказываниями q u s, о которых идет

речь в рассмотренном примере, я хотел бы сделать не-

сколько методологических замечаний, касающихся от-

крытия Кеплером его законов* 21.

Я не хочу навести вас на мысль о том, что вера в

совершенство — эвристический принцип, приведший

Кеплера к его открытию, — была внушена ему созна-

тельно или бессознательно методологическими сообра-

жениями, касающимися степенейфальсифицируемости

теорий. Однако я действительно считаю, что Кеплер

своим успехом частично обязан тому факту, что гипо-

теза окружности, от которой он отталкивался в своем

исследовании, была относительно легко фальсифици-

руема. Если бы Кеплер начал с гипотезы, не столь

легко фальсифицируемой на основании ее логической

формы, как гипотеза окружности, он вполне мог бы не

получить никакого результата, особенно если принять

во внимание трудности вычислений, само основание

которых висело «в воздухе», блуждало, так сказать, по

небесам и двигалось в неизвестном направлении. Не-

двусмысленный отрицательный ответ, который Кеплер

получил при фальсификации своей гипотезы окруж-

ности, фактически был его первым реальным успехом.

Развиваемые далее соображения были поддержаны со ссыл-

кой на источник Нилом [45, с. 230] и Кемени [43, прим. на с. 404].

173

Используемый им метод имел в его глазах достаточное

оправдание для того, чтобы двигаться дальше, в част-

ности потому, что даже эта его первая попытка уже

дала определенные результаты.

Без сомнения, законы Кеплера могли быть обна-

ружены иначе. Однако, по моему мнению, то, что имен-

но этот путь привел к успеху, не было чисто случай-

ным. Путь, по которому шел Кеплер, соответствует

методу устранения, который применим только тогда,

когда теория достаточно легко фальсифицируема, то

есть^ достаточно точна для того, чтобы быть способной

прийти в столкновение с данными наблюдения.

40. Два способа редукции размерности

множества кривых

Совершенно различные множества кривых могут

иметь одну и ту же размерность. Множество всех окруж-

ностей, к примеру, трехмерно, а множество всех окруж-

ностей, проходящих через данную точку, является дву-

мерным множеством (подобно множеству прямых ли-

ний). Если же мы потребуем, чтобы все окружности

проходили через две данные точки, то мы получим одно-

мерное множество, и т. д. Каждое дополнительное

условие, требующее, чтобы все кривые некоторого мно-

жества проходили еще через одну данную точку, сни-

жает размерность данного множества на единицу.

Размерность можно также редуцировать и другими

методами, отличными от увеличения числа данных то-

чек. Так, например,множество эллипсов с данным со-

отношением их осей является четырехмерным (как и

множество парабол), и таким же является множество

эллипсов с данным численным эксцентриситетом. Пере-

ход от эллипса к окружности, конечно, эквивалентен

спецификации эксцентриситета (эксцентриситет в этом

случае равен 0) или принятию особого соотношения

осей (равного 1).

Поскольку мы заинтересованы в оценке степеней

фальсифицируемости теорий, мы теперь поставим во-

прос о том, эквивалентны ли для наших целей различ-

ные методы редукции размерности или нам следует

более тщательно исследовать их относительные до-

стоинства. Действительно, допущение о том, что кри-

вая должна проходить через определенную сингулярную

174

нульмерные

классы 22

—

—

прямая ли-

ния через

две дан-

ные точки

окружность

через три

данные

точки

одномерные

классы

—

прямая ли-

ния через

одну дан-

ную точку

окружность

через две

данные

точки

парабола

через три

данные

точки

двумерные

классы

прямая ли-

ния

окружность

через одну

данную

точку

парабола че-

рез две

данные

точки

коническое

сечение

через три

данные

точки

трехмерные

классы

окружность

парабола

через од-

ну дан-

ную точку

коническое

сечение

. через две

данные

точки

—

четырехмер-

ные клас-

сы

парабола

коническое

сечение

через од-

ну дан-

ную точку

"

"

точку (или некоторую очень маленькую область), часто

будет связываться или ставиться в соответствие с при*

нятием некоторого сингулярного высказывания, то есть

начального условия. Вместе с тем переход, скажем, от

гипотезы эллипса к гипотезе окружности, очевидно,

будет соответствовать редукции размерности самой тео-

рии. Как же можно разграничить эти два метода редук-

ции размерности? Мы можем назвать «материальной

редукцией» метод редукции размерности, который не

имеет дела с допущениями, касающимися «формы» или

«вида» кривой, то есть, к примеру, редукции при помо-

щи точного определения одной или более точек или

при помощи какой-либо эквивалентной спецификации.

Другой метод, при котором форма или вид кривой

становятся более точно определенными, как, например,

когда мы переходим от эллипса к окружности или от

окружности к прямойлинии и т. д., я назову методом

«формальной редукции» размерности.

22 Мы могли бы, конечно, начать с пустого минус-одномерного

класса.

175

Однако это различение нелегко сделать достаточно

точным. В этом можно убедиться следующим образом.

Редукция размерности на языке алгебры означает за-

мену некоторого параметра константой. Однако не

очень ясно, каким образом мы можем различить раз-

ные методы замены параметра константой. Формальная

редукция, заключающаяся в переходе от общего урав-

нения эллипса к уравнению окружности, может быть

описана как приравнивание одного параметра к 0, а

второго — к 1. Однако если второй параметр (абсолют-

ный термин) приравнивается к 0, то это означало бы

материальную редукцию, а именно спецификацию неко-

торой точки эллипса. Тем не менее я считаю, что это

различение можно сделать ясным, если мы установим

его связь с проблемой универсальных имен. Дело в

том, что материальная редукция вводит индивидуальное

имя, а формальная — универсальное имя в определение

соответствующего множества кривых.

Давайте представим, что нам дана некоторая кон-

кретная плоскость, возможно, при помощи «остенсив-

ного определения». Множество всех эллипсов на этой

плоскости можно определить при помощи общего урав-

нения эллипса, множество окружностей — при помощи

общего уравнения окружности. Эти определения не за-

висят от того, в каком месте на плоскости мы проводим

(декартовы) координаты, к которым относятся эти

определения. Следовательно, они не зависят от выбора

начала и ориентации координат. Конкретная система

координат может быть определена только при помощи

ипдувидуальных ямен, скажем при помощи остенсивно-

го определения начала и ориентации координат. По-

скольку же определение множества эллипсов (или

окружностей) одинаково для всех декартовых коорди-

нат, оно независимо от спецификации этих индивидуаль-

ных имен, то есть инвариантно по отношению ко всем

преобразованиям координат в евклидовой группе (пре-

образованиям переносов и подобия).

Если же возникает необходимость определить мно-

жество эллипсов (или окружностей), которые имеют

общую конкретную, индивидуальную точку на плоско-

сти, то мы должны обратиться к уравнению, которое

не является инвариантным по отношению к преобра-

зованиям в евклидовой группе, а относится к сингуляр-

ной, то есть индивидуально «ли остенсивно определен-

173

ной, системе координат. Следовательно, такая редукция

связана с индивидуальными именами 23.

Можно построить некоторую иерархию подобных

преобразований. Определение, инвариантное но отно-

шению к более общей группе преобразований, являет-

ся также инвариантным и по отношению к б.> лее част-

ным группам. Для каждого определения множества

кривых существует одна наиболее общая группа пре-

образований, которая является характерной для этого

множества. Теперь мы можем сказать: определение

Di множества кривых называется «равным по общности»

(или более общим по отношению к) определению D 2

множества кривых, если оно инвариантно по отношению

к той же самой группе преобразований, что и D 2 (или

по отношению к более общей группе). Редукцию раз-

мерности множества кривых теперь можно назвать

формальной, если она не уменьшает общности опреде-

ления; в противном случае она является материальной.

Если мы сравним степени фальсифицируемости двух

теорий при помощи рассмотрения их размерности, то

нам наряду с размерностью, без сомнения, придется

принимать в расчет и их общность, то есть их инва-

риантность по отношению к преобразованиям коор-

динат.

Такая процедура, конечно, должна считаться с тем,

содержит ли фактически рассматриваемая теория гео-

метрические высказывания о мире, как это имеет место,

например, в теории Кеплера, или она «геометрична»

только в том смысле, что ее можно представить при

помощи графика, подобного тому, посредством которо-

го выражается зависимость давления от температуры.

Конечно, было бы неправильным требовать от теорий

второго типа или от соответствующих множеств кри-

вых, чтобы их определения были инвариантными по

отношению, скажем, к вращениям системы координат,

так как в таких случаях различные координаты могут

представлять совершенно различные вещи (одна коор-

динатная ось, например, — давление, другая — темпера-

туру и т. п.).

На этом мы заканчиваем рассмотрение методов, при

следуетсравнивать степени фальсифи-

23 Об отношениях между группами преобразований и «индиви-

дуализацией» см. [90, с. 73], где делается ссылка на эрлашенск\ю

программу Клейна.

12—913 177

цируемости теорий. Я считаю, что эти методы могут

помочь нам прояснить такие эпистемологические вопро-

сы, как, например, проблема простоты, которой мы зай-

мемся в следующей главе. Имеются также и другие

проблемы, которые наше исследование степеней фаль-

сифицируемости, как это мы увидим далее, освещает

по-новому. В особенности это относится к проблеме так

называемой «вероятности гипотез» или проблеме под-

крепления.

Добавление 1972 года

Одним из наиболее важных понятий в этой книге

является понятие (эмпирического или информационного)

содержания теории. («Не зря же мы называем законы

природы «законами»: чем больше они запрещают, тем

больше они говорят» — см. с. 64 настоящего издания.)

В гл. VI я сделал акцент на двух положениях. (1)

Содержание или проверяемость (или простота — см.

гл. VII) теории могут иметь степени, которые позволяют

нам говорить о релятивизации понятия фальсифици-

руемости (логическим основанием которого по-прежне-

му остается modus tollens). (2) Цель науки — рост зна-

ния — можно отождествить с ростом содержания наших

теорий (см. также мою статью [68]).

В последнее время я развил далее эти идеи (см., в

частности, [71, гл. 10]). К новым положениям относятся

два следующих: (3) Проведена дальнейшая релятиви-

зация понятий содержания и проверяемости по отноше-

нию к рассматриваемой проблеме или множеству рас-

сматриваемых проблем. (Уже в 1934 году я релятивизо-

вал эти понятия по отношению к области применения —

см. [58 и 70, прил. I].) (4) Введены понятия истинного

содержания теории и аппроксимации, или приближения,

теории к истине («правдоподобности»).

ГЛАВА VII. ПРОСТОТА

Вопрос о важности так называемой «проблемы про-

стоты», по-видимому, до сих пор остается дискуссион-

ным. Вейль совсем недавно утверждал, что «проблема

простоты имеет решающее значение для эпистемологии

естественных наук» [90, с. 155] (см. также разд. 42).

Однако в последнее время интерес к этой проблеме по-

шел на убыль, и причина этого, возможно, заключается

в том, что у нас, кажется, почти не осталось шансов

найти ее решение, в особенности после проницательного

анализа этой проблемы Вейлем.

До недавнего времени понятие простоты употребля-

лось по преимуществу некритически, как будто бы со-

вершенно ясно, что представляет собой простота и по-

чему это понятие должно быть для нас заслуживающим

внимания. Немало философов науки отвели понятию

простоты чрезвычайно важное место в своих теориях,

даже не заметив при этом порождаемых им трудностей.

К примеру, последователи Маха, Кирхгофа и Авенариу-

са попытались заменить понятие причинного объяснения

понятием «простейшее описание». Без прилагательного

«простейший» или другого сходного слова их учение

было бы совершенно пустым. Поскольку же это учение

было предназначено для того, чтобы объяснить, почему

мы предпочитаем описание мира с помощью теорий

описанию, осуществленному с помощью сингулярных