высказываний, в ней, судя по всему, предполагается,
что теории проще сингулярных высказываний. Однако
вряд ли кто-либо вообще пытался объяснить, почему
собственно теории проще сингулярных высказываний,
или выяснить, какой более точный смысл можно при-
дать понятию простоты.
12* 179
Если же мы считаем, что теориями необходимо поль-
зоваться в силу их простоты, то нам, очевидно, следует
использовать простейшие теории. Именно таким образом
Пуанкаре, для которого выбор теории является конвен-
циональным, приходит к формулировке своего принципа
выбора теорий — он выбирает простейшую из возмож-
ных конвенций. Но какие из них простейшие?
4L Устранение эстетического
и прагматического понятий простоты
Слово «простота» используется во многих различных
смыслах. Теория Шредингера, например, очень проста
в методологическом смысле, но в другом смысле ее
вполне можно назвать «сложной». Мы также можем
сказать, что решение некоторой проблемы представ-
ляется не простым, а трудным, или что некоторое изло-
жение или описание является не простым, а запу-
танным.
Для начала я исключу из нашего рассмотрения при-
менение термина «простота» к чему-то, подобному из-
ложению или описанию. О двух изложениях одного и
того же математического доказательства иногда гово-
рят, что одно из них проще или элегантнее другого. Од-
нако это различение представляет незначительный ин-
терес с точки зрения теории познания. Оно не относит-
ся к сфере логики, а только указывает на предпочте-
ние, имеющее эстетический или прагматический харак-
тер. Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда
говорят о возможности решить одну задачу «более про-
стыми средствами», чем другую, подразумевая, что это
можно сделать легче или что для этого потребуется
меньше умения или меньше знаний. Во всех этих слу-
чаях слово «простой» можно легко устранить: оно ис-
пользуется здесь во внелогическом смысле.
42. Методологическая проблема простоты
Что же остается после того, как мы устранили эсте-
тическое и прагматическое понятия простоты, и остает-
ся ли вообще что-либо? Существует ли понятие про-
стоты, представляющее интерес для логика? Возможно
ли различить теории, которые были бы логически неэк-
вивалентны по своим степеням простоты?
180
Положительный ответ на эти вопросы вполне может
показаться сомнительным, если вспомнить, сколь мало
успеха принесло до сих пор большинство попыток опре-
делить это понятие. Шлик, например, дает отрицатель-
ный ответ на эти вопросы. Он говорит: «Простота пред-
ставляет собой... понятие, указывающее на предпочте-
ния, которые по своему характеру являются, частично
практическими, частично эстетическими» [86, с. 148] *'.
Примечательно, что Шлик дает такой ответ как раз
тогда, когда пишет об интересующем нас сейчас поня-
тии, которое я буду называть эпистемологическим по-
нятием простоты. Далее он продолжает: «Даже если мы
не способны объяснить, что в действительности под-
разумевается нами под понятием «простота», нам все
же следует признать тот факт, что любой ученый, ко-
торому удалось представить серию наблюдений при
помощи очень простой формулы (например, при помо-
щи линейной, квадратичной или экспоненциальной
функции), сразу же убеждается в том, что он открыл
закон».
Шлик обсуждает возможность определения понятия
законосообразной регулярности, и в частности возмож-
ность различения «закона» и «случая», на основе поня-
тия простоты. В конечном счете он отвергает такую
возможность, отмечая при этом, что «простота, без со-
мнения, является полностью относительным и неопре-
деленным понятием и на его основе нельзя построить
ни строгого определения причинности, ни четкого раз-
личения закона и случая» (там же). Приведенные ци-
таты из работы Шлика ясно показывают, какова в дей-
ствительности та простота, которой мы желаем до-
стичь. Это понятие должно дать нам меру степени за-.
коносообразности или регулярности событий. Аналогич-
ная точка зрения выдвигается Фейглем, когда он гово-
рит об «идее определения степени регулярности или
законосообразности с помощью понятия простоты»-
[25, с. 25].
Эпистемологическое понятие простоты играет особую
роль в теориях индуктивной логики, например в связи
с проблемой «простейшей кривой». Сторонники индук-
тивной логики полагают, что мы приходим к законам
*' Я даю вольный перевод используемого Шликом термина «pragmatischer
».
181
природы путем обобщения отдельных наблюдений. Если
мы представляем различные результаты, полученные в
некоторой серии наблюдений, точками в некоторой си-
стеме координат, то графическое представление закона
будет иметь вид кривой, проходящей через все эти точ-
ки. Однако через конечное число точек мы всегда можем
провести неограниченное число кривых самой разнооб-
разной "формы. Таким образом, поскольку имеющиеся
наблюдения не позволяют единственным образом опре-
делить данный закон, индуктивная логика сталкивает-
ся, следовательно, с проблемой установления той кри-
вой, которую следует выбрать из всех этих возможных
кривых.
Обычный ответ на этот вопрос звучит так: «Выбирай
простейшую кривую». Витгенштейн, к примеру, говорит:
«Процесс индукции состоят в том, что мы принимаем
простейший закон, согласующийся с нашим опытом»
[95, утверждение 6.363]. При выборе простейшего за-
кона обычно неявно предполагается, что линейная
функция проще квадратичной, окружность проще эл-
липса и т. д. Однако при этом не приводится никаких
оснований, кроме эстетических и практических, ни для
предпочтения этой конкретной иерархии степеней про-
стоты любой другой возможной иерархии, ни для убеж-
дения в том, что «простые» законы имеют какие-то пре-
имущества по сравнению с менее простыми законами 2.
Шлик [86] и Фейгль [25] ссылаются в этой связи на
неопубликованную работу Наткина, который, согласно
сообщению Шлика, предлагает считать одну кривую
проще другой, если усредненная кривизна первой кри-
вой меньше усредненной кривизны второй, или, соглас-
но описанию Фейгля, если она меньше, чем вторая
кривая, отклоняется от прямой (эти описания неэквива-
лентны). Это определение на первый взгляд до-
вольно хорошо согласуется с нашей интуицией, однако
в нем упускается из виду самое важное. Согласно тако-
му определению, к примеру, некоторые (асимптотиче-
ские) отрезки гиперболы значительно проще круга,
2 Замечание Витгенштейна о простоте логики [95, утверждение
5.4541], которая устанавливает «стандарт простоты», не дает ника-
кого ключа к решению нашей проблемы. Рейхенбаховский «принцип
простейшей кривой» [77, с. 616] основывается на его Аксиоме Индук-
ции (которая, по моему мнению, несостоятельна) и также приносит
мало пользы.
182
и т. п. Впрочем я не думаю, чтобы этот вопрос можно
было бы действительно разрешить при помощи таких
«хитроумных изобретений» (как называет их Шлик).
К тому же все равно остается загадкой, почему мы
должны отдавать предпочтение простоте, которая опре-
делена столь специфическим способом.
Вейль рассматривает и отвергает очень интересную
попытку обоснования понятия простоты с помощью по-
нятия вероятности: «Предположим, например, что два-
дцать пар значений (к, у) одной функции y = f(x) при
нанесении на миллиметровую бумагу располагаются
(в пределах ожидаемой точности) на прямой линии.
В таком случае напрашивается предположение о том,
что здесь мы имеем дело с точным законом природы
и что у линейно зависит от х. Это предположение об-
условлено простотой прямой линии или, иначе говоря,
тем, что расположение двадцати пар произвольно взя-
тых наблюдений очень близко к прямой линии было бы
крайне невероятным, если бы рассматриваемый закон
был бы иным. Если же теперь использовать полученную
прямую как основание для интерполяции и экстраполя-
ции, то мы получим предсказания, выходящие за пре-
делы того, что говорят нам наблюдения. Однако такой
ход мысли может быть подвергнут критике. Действи-
тельно, всегда имеется возможность определить все ви-
ды математических функций, которые... будут удовлет-
ворять двадцати нашим наблюдениям, причем некото-
рые из этих функций будут значительно отклоняться от
прямой. И относительно каждой такой функции мы мо-
жем считать, что было бы крайне невероятно, чтобы
наши двадцать наблюдений лежали именно на этой -
кривой, если бы она не представляла собой истинный
закон. В этой связи действительно важным является
то, что данная функция или скорее данный класс функ-
ций предлагается нам математикой a priori именно в
силу их математической простоты. Следует отметить,
что параметры, от которых этот класс функций должен
зависеть, не должны быть столь же многочисленны,
как и наблюдения, которым эти функции должны удов-
летворять» [90, с. 156] * 3. Замечание Вейля о том, что
* 3 Когда я писал свою книгу, я не знал (и Вейль, без сомнения,
не знал, когда писал свою), что" Джеффрис и Ринч за шесть лет до
Вейля предложили измерять простоту некоторой функции при помо-
щи малочисленности ее свободно заменимых параметров (см. их
183
-«данный класс функций предлагается нам математикой
a priori именно в силу их математической простоты» и
его упоминание числа параметров согласуются с моей
точкой зрения (как она будет изложена в разд. 43).
'Однако Вейль не разъясняет, что же представляет со-
бой «математическая простота», а главное, он ничего
не говорит о тех логических или эпистемологических
преимуществах, которыми, как предполагается, обла-
дает более простой закон по сравнению с более слож-
ным 4.
Приведенные цитаты из работ разных авторов очень
важны для нас, поскольку они имеют непосредственное
отношение к нашей цели, то есть к анализу эпистемо-
логического понятия простоты. Дело в том, что это
понятие до сих пор не определено с достаточной точ-
ностью. Следовательно, всегда имеется возможность
отвергнуть любую (к примеру, мою) попытку придать
этому понятию точность на том основании, что интере-
-сующее эпистемологов понятие простоты в действитель-
ности совершенно отлично от того понятия, которое
предлагается. На такие возражения я мог бы ответить,
что я не придаю какого-либо значения самому слову
«простота». Этот термин был введен не мною, и я хо-
рошо сознаю его недостатки. Я только утверждаю, что
понятие простоты, которое я стремлюсь уточнить, по-
могает ответить на ге самые вопросы, которые, как
показывают приведенные цитаты, часто ставились фи-
лософами науки в связи с «проблемой простоты».
43. Простота и степень фальсифицируемости
Все возникающие в связи с понятием простоты эпи-
стемологические вопросы могут быть разрешены, если
мы отождествим это понятие с понятием степени фаль-
сифицируемости. Вероятно, это утверждение вызовет
совместную статью [38]). Я хочу воспользоваться предоставившейся
возможностью, чтобы выразить признательность этим авторам за их
работу.
4 Последующие замечания Вейля о связи между простотой и под-
креплением также имеют отношение к рассматриваемой нами проб-
леме. Эти замечания в основном согласуются с моими взглядами, из-
ложенными в разд. 82, хотя и сам мой подход, и мои аргументы в его
пользу значительно отличаются от подхода Вейля (см. прим. 18 к
гл. X и прим. *6 к этой главе).
184
резкие возражения* 5; поэтому я сначала попытаюсь сде-
лать его интуитивно более приемлемым.
Ранее было показано, что теории меньшей размер-
ности легче поддаются фальсификации, чем теории
большей размерности. Например, некоторый закон,
* 5 Я с удовлетворением обнаружил, что предложенная мною тео-
рия простоты (включая и положения, изложенные в разд. 40) была
признана но крайней мере одним эпистемологом — Нилом, который
в своей книге пишет: «Легко заметить, что простейшая в этом смысле
гипотеза является также гипотезой, которую в случае ее ложности
мы можем надеяться быстрее всего устранить....Короче говоря, имен-
но стратегия принятия простейшей гипотезы, согласующейся с изве-
стными фактами, дает нам возможность как можно быстрее избав-
ляться от ложных гипотез» [45, с. 229]. В этом месте Нил делает
примечание, в котором ссылается на с. 116 книги Вейля [90], a также
на мою книгу [58]. Однако ни на указанной странице книги Вейля.
которую я цитировал в предыдущем разделе, ни в каком-либо другом
месте этой замечательной книги (а также ни в какой другой его кни-
ге) я не сумел обнаружить никакого следа воззрения, согласно кото-
рому простота теории связана с ее фальсифицируемостью, то есть с
легкостью ее устранения. И конечно, я не написал бы (как это сдела-
но в конце предыдущего раздела), что Вейль «ничего не говорит о-
тех логических или эпистемологических преимуществах, которыми,,
как предполагается, обладает более простой закон», если бы Вейль
(или другой известный мне автор) предвосхитил мою теорию.
Таковы факты. В своем очень интересном рассуждении по пово-
ду данной проблемы (процитированном мною в разд. 42 в тексте пе-
ред прим. *4) Вейль сначала упоминает интуитивное воззрение, со-
гласно которому простая кривая, скажем прямая линия, имеет неко-
торые преимущества по сравнению с более сложной кривой,
поскольку совпадение всех наблюдений с такой простой кривой мож-
но рассматривать как в высшей степени невероятное событие. Однако
вместо того, чтобы довести до конца это интуитивное понимание (ко-
торое, я думаю, помогло бы Веилю заметить, что более простая тео-
рия является в то же время лучше проверяемой теорией). Вейль от-
вергает его как не выдерживающее рациональной критики. Он указы-
вает, что то же самое можно было бы сказать и о любой другой дан-
ной кривой, сколь бы сложной она ни была. (Этот аргумент является
правильным, однако он не применим к нашему случаю, поскольку мы
рассматриваем не верифицирующие примеры, а потенциальные фаль-
сификаторы и их степени неэлементарности.) Затем Вейль переходит
к обсуждению понятия малочисленности параметров в качестве кри-
терия простоты, не связывая это понятие тем или иным образом ни
с только что отброшенным интуитивным воззрением на простоту, ни
с каким-либо другим понятием (типа проверяемости или содержания),
которое помогло бы объяснить наше эпистемологическое предпочте-
ние более простых теорий.
Предпринятая Вейлем попытка охарактеризовать простоту неко-
торой кривой при помощи малочисленности ее параметров, как мы
отметили, была предвосхищена в 1921 году Джеффрисом и Ринчем [38].
Однако если Вейль просто не смог заметить то, что теперь (согласно
Нилу) «легко заметить», то Джеффрис действительно придерживался
185
имеющий форму функции первой степени, легче под-
дается фальсификации, чем закон, выражаемый посред-
ством функции второй степени. Однако в ряду законов,
математической формой которых являются алгебраиче-
ские функции, второй закон все же принадлежит к
классу хорошо фальсифицируемых законов. Это согла-
суется с тем, что говорит о простоте Шлик. «Мы, —
пишет он, — определенно расположены рассматривать
функцию первой степени как более простую по сравне-
нию с функцией второй степени, хотя последняя так-
же, без сомнения, представляет собой очень хороший
закон» [86, с. 148] (см. прим. *1).
Как мы уже видели, степень универсальности и
точности некоторой теории возрастает вместе со сте-
пенью ее фальсифицируемости. Таким образом, мы, по-
видимому, можем отождествить степень строгости тео-
рии, то есть степень, так сказать, жесткости тех огра-
ничений, которые теория при помощи закона налагает
на природу, с ее степенью фальсифицируемости. Отсю-
да следует, что понятие степени фальсифицируемости
выполняет те самые функции, которые, по мнению
Шлика и Фейгля, должно выполнять понятие простоты.
Я могу добавить, что различение, которое Шлик хотел
провести между законом и случаем, также может быть
уточнено с помощью идеи степеней фальсифицируе-
мости. Оказывается, что вероятностные высказывания о
последовательностях со случайными характеристиками,
во-первых, имеют бесконечную размерность (см. [70,
разд. 65]), во-вторых, являются сложными, а не про-
стыми (см. [70, разд. 58 и конец разд. 59]) и, в-третьих,
фальсифицируемы только при принятии специальных
мер предосторожности (см. [70, разд. 68]).
Сравнение степеней проверяемости подробно обсуж-
далось ранее, в разд. 31—40. Приводимые там примеры
и отдельные соображения можно легко перенести на
и до сих пор придерживается воззрения, совершенно противоположного
моей теории простоты: он приписывает более простому закону боль-
шую априорную вероятность, а не большую априорную невероятность,
как это делаю я. (Таким образом, сопоставление взглядов Джеффри-
са и Нила может служить иллюстрацией к замечанию Шопенгауэра
о том, что решение проблемы часто сначала выглядит как парадокс,
а потом как трюизм.) Я хотел бы добавить здесь, что в последнее
время я значительно продвинулся в разработке моих взглядов на по-
нятие простоты, при этом я старался усвоить, и, надеюсь, небезуспеш-
но, кое-что из книги Нила.
186
проблему простоты. Это верно, в частности, для поня-
тия степени универсальностинекоторой теории. Мы
знаем, что более универсальное высказывание может
заменить много менее универсальных высказываний и
по этой причине его можно назвать «более простым»..
Можно также сказать, что понятие размерности теории
придает точность идее Вейля об использовании числа
параметров для определения понятия простоты* 6. Не-
сомненно также, что наше различение материальной и
формальной редукций размерности теории (см. разд.
40) может подсказать ответ на некоторые возможные
возражения против теории Вейля, например на возра-
жение, согласно которому множество эллипсов, для
которых даны соотношения их осей и численный экс-
центриситет, имеет в точности столько же параметров,
как и множество окружностей, хотя второе множество,
очевидно, является более «простым».
Самое же важное состоит в том, что наша теория
объясняет, почему простота ценится столь высоко. Что-
бы понять это, нам не нужно принимать ни «принцип
экономии мышления», ни какой-либо другой принцип
* 6 Как упоминалось в прим. *3 и *5, именно Джсффрис и Ринч
впервые предложили измерять простоту некоторой функции малочис-
ленностью ее свободно заменимых параметров. Однако они вместе
с тем предлагали приписывать более простой гипотезе большую
априорную вероятность. Таким образом, их взгляды могут быть вы-
ражены следующей схемой:
простота=малочисленность параметров —высокая
априорная вероятность.
Получилось так, что я исследовал эту проблему совсем с другой
стороны. Меня интересовала оценка степеней проверяемости, и я вна-
чале обнаружил, что проверяемость можно измерить при помощи «ло-
гической невероятности» (которая в точности соответствует исполь-
зуемому Джеффрисом понятию «априорной» невероятности). Затем
я обнаружил, что проверяемость и, следовательно, априорная неве-
роятность могут быть отождествлены с малочисленностью парамет-
ров, и только в конечном итоге я отождествил высокую степень про-
веряемости с высокой степенью простоты. Таким образом, мои взгля-
ды могут быть выражены такой схемой:
проверяемость = высокая априорная
невероятность = малочисленность параметров = простота.
Заметим, что две эти схемы частично совпадают. Однако в ре-
шающем пункте, когда речь заходит о вероятности и невероятности,
они находятся в прямом противоречии друг с другом (см. также [70,
прил. *VIII]).
187
такого же рода. Когда нашей целью является знание,
простые высказывания следует ценить выше менее
простых, потому что они сообщают нам больше, потому
-что больше их эмпирическое содержание и потому что
'Они лучше проверяемы.
44. Геометрический образ и функциональная форма
Наша концепция простоты помогает нам разрешить
•ряд противоречий, которые до сих пор ставили под со-
мнение полезность применения понятия простоты.
Немногие, я думаю, считают геометрический образ,
•скажем, логарифмической кривой очень простым. Од-
нако закон, который может быть представлен с помощью
логарифмической функции, обычно считается простым.
Аналогичным образом функция синуса, по общему мне-
нию, является простой, хотя геометрический образ си-
нусоиды, возможно, не является столь простым.
Трудности такого рода можно устранить, если мы
вспомним о связи между числом параметров и сте-
пенью фальсифицируемости и проведем различение
между формальной и материальной редукциями раз-
мерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли
инвариантности по отношению к преобразованиям си-
стем координат.) Когда речь идет о геометрической
-.форме или об образе некоторой кривой, мы требуем от
нее инвариантности по отношению ко всем преобразо-
ваниям, принадлежащим к группе переносов. Мы мо-
жем также потребовать при этом инвариантности по
отношению к преобразованиям подобия, так как обыч-
но предполагается, что геометрическая форма или гео-
метрический образ не связаны с определенным местом
на плоскости. Следовательно, если мы рассматриваем
форму однопараметрической логарифмической кривой
(y = logax), не связывая ее с определенным местом на
плоскости, то такая кривая будет зависеть от пяти па-
раметров (если допустить преобразования подобия).
Таким образом, она ни в коем случае не является весь-
ма простой кривой. Если же некоторая логарифмическая
кривая представляет теорию или закон, то указанные
преобразования координат не имеют значения. В таких
случаях использованиевращений, параллельных пере-
носов и преобразований подобия не имеет смысла, так
жак логарифмическая кривая здесь, как правило, яв-
188
ляется графическим представлением, в котором оси ко-
ординат не взаимозаменяемы (к примеру, ось χ может
представлять атмосферное давление, а ось у — высоту
над уровнем моря). По этой же причине преобразова-
ния подобия также не играют здесь никакой роли. Ана-
логичные соображения применимы и к колебаниям си-
нусоиды вокруг некоторой конкретной оси, к примеру
вокруг оси времени, и ко многим другим случаям.
45. Простота евклидовой геометрии
Одним из вопросов, занимавших важное место в
большинстве дискуссий о теории относительности, был
вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом
никто даже не пытался усомниться в том, что евклидо-
ва геометрия как таковая проще, чем любая неевкли- ·
дова геометрия с данной постоянной кривизной, не го-
.воря уже о неевклидовых геометриях с переменной кри-
визной.
На первый взгляд кажется, что используемое при
таком сравнении понятие простоты не имеет почти ни-
чего общего со степенями фальсифицируемое™. Одна-
ко если высказывания о простоте различных геометрий
сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обна-
ружится, что два интересующих нас понятия — простота
и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.
Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам
помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем ми-
ре необходимо использовать некоторую метрическую
геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны».
Эта гипотеза допускает проверку только в том случае,
если мы отождествим некоторые геометрические сущ-
ности с определенными физическими объектами, на-
пример прямые линии ·— со световыми лучами, точки —
с пересечением нитей и т. п. Если принять такое отож-
дествление (то есть соотносящее определение или, воз-
можно, некоторое остенсивное определение — см. разд.
17), то можно показать, что гипотеза о справедливости
евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируе-
ма в большей степени, чем любая другая конкурирую-
щая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой
неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы из-
мерим сумму углов светового треугольника, то любое
значительное отклонение от 180 градусов фальсифици-
