Глава I. Обзор основных проблем 17 страница

высказываний, в ней, судя по всему, предполагается,

что теории проще сингулярных высказываний. Однако

вряд ли кто-либо вообще пытался объяснить, почему

собственно теории проще сингулярных высказываний,

или выяснить, какой более точный смысл можно при-

дать понятию простоты.

12* 179

Если же мы считаем, что теориями необходимо поль-

зоваться в силу их простоты, то нам, очевидно, следует

использовать простейшие теории. Именно таким образом

Пуанкаре, для которого выбор теории является конвен-

циональным, приходит к формулировке своего принципа

выбора теорий — он выбирает простейшую из возмож-

ных конвенций. Но какие из них простейшие?

4L Устранение эстетического

и прагматического понятий простоты

Слово «простота» используется во многих различных

смыслах. Теория Шредингера, например, очень проста

в методологическом смысле, но в другом смысле ее

вполне можно назвать «сложной». Мы также можем

сказать, что решение некоторой проблемы представ-

ляется не простым, а трудным, или что некоторое изло-

жение или описание является не простым, а запу-

танным.

Для начала я исключу из нашего рассмотрения при-

менение термина «простота» к чему-то, подобному из-

ложению или описанию. О двух изложениях одного и

того же математического доказательства иногда гово-

рят, что одно из них проще или элегантнее другого. Од-

нако это различение представляет незначительный ин-

терес с точки зрения теории познания. Оно не относит-

ся к сфере логики, а только указывает на предпочте-

ние, имеющее эстетический или прагматический харак-

тер. Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда

говорят о возможности решить одну задачу «более про-

стыми средствами», чем другую, подразумевая, что это

можно сделать легче или что для этого потребуется

меньше умения или меньше знаний. Во всех этих слу-

чаях слово «простой» можно легко устранить: оно ис-

пользуется здесь во внелогическом смысле.

42. Методологическая проблема простоты

Что же остается после того, как мы устранили эсте-

тическое и прагматическое понятия простоты, и остает-

ся ли вообще что-либо? Существует ли понятие про-

стоты, представляющее интерес для логика? Возможно

ли различить теории, которые были бы логически неэк-

вивалентны по своим степеням простоты?

180

Положительный ответ на эти вопросы вполне может

показаться сомнительным, если вспомнить, сколь мало

успеха принесло до сих пор большинство попыток опре-

делить это понятие. Шлик, например, дает отрицатель-

ный ответ на эти вопросы. Он говорит: «Простота пред-

ставляет собой... понятие, указывающее на предпочте-

ния, которые по своему характеру являются, частично

практическими, частично эстетическими» [86, с. 148] *'.

Примечательно, что Шлик дает такой ответ как раз

тогда, когда пишет об интересующем нас сейчас поня-

тии, которое я буду называть эпистемологическим по-

нятием простоты. Далее он продолжает: «Даже если мы

не способны объяснить, что в действительности под-

разумевается нами под понятием «простота», нам все

же следует признать тот факт, что любой ученый, ко-

торому удалось представить серию наблюдений при

помощи очень простой формулы (например, при помо-

щи линейной, квадратичной или экспоненциальной

функции), сразу же убеждается в том, что он открыл

закон».

Шлик обсуждает возможность определения понятия

законосообразной регулярности, и в частности возмож-

ность различения «закона» и «случая», на основе поня-

тия простоты. В конечном счете он отвергает такую

возможность, отмечая при этом, что «простота, без со-

мнения, является полностью относительным и неопре-

деленным понятием и на его основе нельзя построить

ни строгого определения причинности, ни четкого раз-

личения закона и случая» (там же). Приведенные ци-

таты из работы Шлика ясно показывают, какова в дей-

ствительности та простота, которой мы желаем до-

стичь. Это понятие должно дать нам меру степени за-.

коносообразности или регулярности событий. Аналогич-

ная точка зрения выдвигается Фейглем, когда он гово-

рит об «идее определения степени регулярности или

законосообразности с помощью понятия простоты»-

[25, с. 25].

Эпистемологическое понятие простоты играет особую

роль в теориях индуктивной логики, например в связи

с проблемой «простейшей кривой». Сторонники индук-

тивной логики полагают, что мы приходим к законам

*' Я даю вольный перевод используемого Шликом термина «pragmatischer

».

181

природы путем обобщения отдельных наблюдений. Если

мы представляем различные результаты, полученные в

некоторой серии наблюдений, точками в некоторой си-

стеме координат, то графическое представление закона

будет иметь вид кривой, проходящей через все эти точ-

ки. Однако через конечное число точек мы всегда можем

провести неограниченное число кривых самой разнооб-

разной "формы. Таким образом, поскольку имеющиеся

наблюдения не позволяют единственным образом опре-

делить данный закон, индуктивная логика сталкивает-

ся, следовательно, с проблемой установления той кри-

вой, которую следует выбрать из всех этих возможных

кривых.

Обычный ответ на этот вопрос звучит так: «Выбирай

простейшую кривую». Витгенштейн, к примеру, говорит:

«Процесс индукции состоят в том, что мы принимаем

простейший закон, согласующийся с нашим опытом»

[95, утверждение 6.363]. При выборе простейшего за-

кона обычно неявно предполагается, что линейная

функция проще квадратичной, окружность проще эл-

липса и т. д. Однако при этом не приводится никаких

оснований, кроме эстетических и практических, ни для

предпочтения этой конкретной иерархии степеней про-

стоты любой другой возможной иерархии, ни для убеж-

дения в том, что «простые» законы имеют какие-то пре-

имущества по сравнению с менее простыми законами 2.

Шлик [86] и Фейгль [25] ссылаются в этой связи на

неопубликованную работу Наткина, который, согласно

сообщению Шлика, предлагает считать одну кривую

проще другой, если усредненная кривизна первой кри-

вой меньше усредненной кривизны второй, или, соглас-

но описанию Фейгля, если она меньше, чем вторая

кривая, отклоняется от прямой (эти описания неэквива-

лентны). Это определение на первый взгляд до-

вольно хорошо согласуется с нашей интуицией, однако

в нем упускается из виду самое важное. Согласно тако-

му определению, к примеру, некоторые (асимптотиче-

ские) отрезки гиперболы значительно проще круга,

2 Замечание Витгенштейна о простоте логики [95, утверждение

5.4541], которая устанавливает «стандарт простоты», не дает ника-

кого ключа к решению нашей проблемы. Рейхенбаховский «принцип

простейшей кривой» [77, с. 616] основывается на его Аксиоме Индук-

ции (которая, по моему мнению, несостоятельна) и также приносит

мало пользы.

182

и т. п. Впрочем я не думаю, чтобы этот вопрос можно

было бы действительно разрешить при помощи таких

«хитроумных изобретений» (как называет их Шлик).

К тому же все равно остается загадкой, почему мы

должны отдавать предпочтение простоте, которая опре-

делена столь специфическим способом.

Вейль рассматривает и отвергает очень интересную

попытку обоснования понятия простоты с помощью по-

нятия вероятности: «Предположим, например, что два-

дцать пар значений (к, у) одной функции y = f(x) при

нанесении на миллиметровую бумагу располагаются

(в пределах ожидаемой точности) на прямой линии.

В таком случае напрашивается предположение о том,

что здесь мы имеем дело с точным законом природы

и что у линейно зависит от х. Это предположение об-

условлено простотой прямой линии или, иначе говоря,

тем, что расположение двадцати пар произвольно взя-

тых наблюдений очень близко к прямой линии было бы

крайне невероятным, если бы рассматриваемый закон

был бы иным. Если же теперь использовать полученную

прямую как основание для интерполяции и экстраполя-

ции, то мы получим предсказания, выходящие за пре-

делы того, что говорят нам наблюдения. Однако такой

ход мысли может быть подвергнут критике. Действи-

тельно, всегда имеется возможность определить все ви-

ды математических функций, которые... будут удовлет-

ворять двадцати нашим наблюдениям, причем некото-

рые из этих функций будут значительно отклоняться от

прямой. И относительно каждой такой функции мы мо-

жем считать, что было бы крайне невероятно, чтобы

наши двадцать наблюдений лежали именно на этой -

кривой, если бы она не представляла собой истинный

закон. В этой связи действительно важным является

то, что данная функция или скорее данный класс функ-

ций предлагается нам математикой a priori именно в

силу их математической простоты. Следует отметить,

что параметры, от которых этот класс функций должен

зависеть, не должны быть столь же многочисленны,

как и наблюдения, которым эти функции должны удов-

летворять» [90, с. 156] * 3. Замечание Вейля о том, что

* 3 Когда я писал свою книгу, я не знал (и Вейль, без сомнения,

не знал, когда писал свою), что" Джеффрис и Ринч за шесть лет до

Вейля предложили измерять простоту некоторой функции при помо-

щи малочисленности ее свободно заменимых параметров (см. их

183

-«данный класс функций предлагается нам математикой

a priori именно в силу их математической простоты» и

его упоминание числа параметров согласуются с моей

точкой зрения (как она будет изложена в разд. 43).

'Однако Вейль не разъясняет, что же представляет со-

бой «математическая простота», а главное, он ничего

не говорит о тех логических или эпистемологических

преимуществах, которыми, как предполагается, обла-

дает более простой закон по сравнению с более слож-

ным 4.

Приведенные цитаты из работ разных авторов очень

важны для нас, поскольку они имеют непосредственное

отношение к нашей цели, то есть к анализу эпистемо-

логического понятия простоты. Дело в том, что это

понятие до сих пор не определено с достаточной точ-

ностью. Следовательно, всегда имеется возможность

отвергнуть любую (к примеру, мою) попытку придать

этому понятию точность на том основании, что интере-

-сующее эпистемологов понятие простоты в действитель-

ности совершенно отлично от того понятия, которое

предлагается. На такие возражения я мог бы ответить,

что я не придаю какого-либо значения самому слову

«простота». Этот термин был введен не мною, и я хо-

рошо сознаю его недостатки. Я только утверждаю, что

понятие простоты, которое я стремлюсь уточнить, по-

могает ответить на ге самые вопросы, которые, как

показывают приведенные цитаты, часто ставились фи-

лософами науки в связи с «проблемой простоты».

43. Простота и степень фальсифицируемости

Все возникающие в связи с понятием простоты эпи-

стемологические вопросы могут быть разрешены, если

мы отождествим это понятие с понятием степени фаль-

сифицируемости. Вероятно, это утверждение вызовет

совместную статью [38]). Я хочу воспользоваться предоставившейся

возможностью, чтобы выразить признательность этим авторам за их

работу.

4 Последующие замечания Вейля о связи между простотой и под-

креплением также имеют отношение к рассматриваемой нами проб-

леме. Эти замечания в основном согласуются с моими взглядами, из-

ложенными в разд. 82, хотя и сам мой подход, и мои аргументы в его

пользу значительно отличаются от подхода Вейля (см. прим. 18 к

гл. X и прим. *6 к этой главе).

184

резкие возражения* 5; поэтому я сначала попытаюсь сде-

лать его интуитивно более приемлемым.

Ранее было показано, что теории меньшей размер-

ности легче поддаются фальсификации, чем теории

большей размерности. Например, некоторый закон,

* 5 Я с удовлетворением обнаружил, что предложенная мною тео-

рия простоты (включая и положения, изложенные в разд. 40) была

признана но крайней мере одним эпистемологом — Нилом, который

в своей книге пишет: «Легко заметить, что простейшая в этом смысле

гипотеза является также гипотезой, которую в случае ее ложности

мы можем надеяться быстрее всего устранить....Короче говоря, имен-

но стратегия принятия простейшей гипотезы, согласующейся с изве-

стными фактами, дает нам возможность как можно быстрее избав-

ляться от ложных гипотез» [45, с. 229]. В этом месте Нил делает

примечание, в котором ссылается на с. 116 книги Вейля [90], a также

на мою книгу [58]. Однако ни на указанной странице книги Вейля.

которую я цитировал в предыдущем разделе, ни в каком-либо другом

месте этой замечательной книги (а также ни в какой другой его кни-

ге) я не сумел обнаружить никакого следа воззрения, согласно кото-

рому простота теории связана с ее фальсифицируемостью, то есть с

легкостью ее устранения. И конечно, я не написал бы (как это сдела-

но в конце предыдущего раздела), что Вейль «ничего не говорит о-

тех логических или эпистемологических преимуществах, которыми,,

как предполагается, обладает более простой закон», если бы Вейль

(или другой известный мне автор) предвосхитил мою теорию.

Таковы факты. В своем очень интересном рассуждении по пово-

ду данной проблемы (процитированном мною в разд. 42 в тексте пе-

ред прим. *4) Вейль сначала упоминает интуитивное воззрение, со-

гласно которому простая кривая, скажем прямая линия, имеет неко-

торые преимущества по сравнению с более сложной кривой,

поскольку совпадение всех наблюдений с такой простой кривой мож-

но рассматривать как в высшей степени невероятное событие. Однако

вместо того, чтобы довести до конца это интуитивное понимание (ко-

торое, я думаю, помогло бы Веилю заметить, что более простая тео-

рия является в то же время лучше проверяемой теорией). Вейль от-

вергает его как не выдерживающее рациональной критики. Он указы-

вает, что то же самое можно было бы сказать и о любой другой дан-

ной кривой, сколь бы сложной она ни была. (Этот аргумент является

правильным, однако он не применим к нашему случаю, поскольку мы

рассматриваем не верифицирующие примеры, а потенциальные фаль-

сификаторы и их степени неэлементарности.) Затем Вейль переходит

к обсуждению понятия малочисленности параметров в качестве кри-

терия простоты, не связывая это понятие тем или иным образом ни

с только что отброшенным интуитивным воззрением на простоту, ни

с каким-либо другим понятием (типа проверяемости или содержания),

которое помогло бы объяснить наше эпистемологическое предпочте-

ние более простых теорий.

Предпринятая Вейлем попытка охарактеризовать простоту неко-

торой кривой при помощи малочисленности ее параметров, как мы

отметили, была предвосхищена в 1921 году Джеффрисом и Ринчем [38].

Однако если Вейль просто не смог заметить то, что теперь (согласно

Нилу) «легко заметить», то Джеффрис действительно придерживался

185

имеющий форму функции первой степени, легче под-

дается фальсификации, чем закон, выражаемый посред-

ством функции второй степени. Однако в ряду законов,

математической формой которых являются алгебраиче-

ские функции, второй закон все же принадлежит к

классу хорошо фальсифицируемых законов. Это согла-

суется с тем, что говорит о простоте Шлик. «Мы, —

пишет он, — определенно расположены рассматривать

функцию первой степени как более простую по сравне-

нию с функцией второй степени, хотя последняя так-

же, без сомнения, представляет собой очень хороший

закон» [86, с. 148] (см. прим. *1).

Как мы уже видели, степень универсальности и

точности некоторой теории возрастает вместе со сте-

пенью ее фальсифицируемости. Таким образом, мы, по-

видимому, можем отождествить степень строгости тео-

рии, то есть степень, так сказать, жесткости тех огра-

ничений, которые теория при помощи закона налагает

на природу, с ее степенью фальсифицируемости. Отсю-

да следует, что понятие степени фальсифицируемости

выполняет те самые функции, которые, по мнению

Шлика и Фейгля, должно выполнять понятие простоты.

Я могу добавить, что различение, которое Шлик хотел

провести между законом и случаем, также может быть

уточнено с помощью идеи степеней фальсифицируе-

мости. Оказывается, что вероятностные высказывания о

последовательностях со случайными характеристиками,

во-первых, имеют бесконечную размерность (см. [70,

разд. 65]), во-вторых, являются сложными, а не про-

стыми (см. [70, разд. 58 и конец разд. 59]) и, в-третьих,

фальсифицируемы только при принятии специальных

мер предосторожности (см. [70, разд. 68]).

Сравнение степеней проверяемости подробно обсуж-

далось ранее, в разд. 31—40. Приводимые там примеры

и отдельные соображения можно легко перенести на

и до сих пор придерживается воззрения, совершенно противоположного

моей теории простоты: он приписывает более простому закону боль-

шую априорную вероятность, а не большую априорную невероятность,

как это делаю я. (Таким образом, сопоставление взглядов Джеффри-

са и Нила может служить иллюстрацией к замечанию Шопенгауэра

о том, что решение проблемы часто сначала выглядит как парадокс,

а потом как трюизм.) Я хотел бы добавить здесь, что в последнее

время я значительно продвинулся в разработке моих взглядов на по-

нятие простоты, при этом я старался усвоить, и, надеюсь, небезуспеш-

но, кое-что из книги Нила.

186

проблему простоты. Это верно, в частности, для поня-

тия степени универсальностинекоторой теории. Мы

знаем, что более универсальное высказывание может

заменить много менее универсальных высказываний и

по этой причине его можно назвать «более простым»..

Можно также сказать, что понятие размерности теории

придает точность идее Вейля об использовании числа

параметров для определения понятия простоты* 6. Не-

сомненно также, что наше различение материальной и

формальной редукций размерности теории (см. разд.

40) может подсказать ответ на некоторые возможные

возражения против теории Вейля, например на возра-

жение, согласно которому множество эллипсов, для

которых даны соотношения их осей и численный экс-

центриситет, имеет в точности столько же параметров,

как и множество окружностей, хотя второе множество,

очевидно, является более «простым».

Самое же важное состоит в том, что наша теория

объясняет, почему простота ценится столь высоко. Что-

бы понять это, нам не нужно принимать ни «принцип

экономии мышления», ни какой-либо другой принцип

* 6 Как упоминалось в прим. *3 и *5, именно Джсффрис и Ринч

впервые предложили измерять простоту некоторой функции малочис-

ленностью ее свободно заменимых параметров. Однако они вместе

с тем предлагали приписывать более простой гипотезе большую

априорную вероятность. Таким образом, их взгляды могут быть вы-

ражены следующей схемой:

простота=малочисленность параметров —высокая

априорная вероятность.

Получилось так, что я исследовал эту проблему совсем с другой

стороны. Меня интересовала оценка степеней проверяемости, и я вна-

чале обнаружил, что проверяемость можно измерить при помощи «ло-

гической невероятности» (которая в точности соответствует исполь-

зуемому Джеффрисом понятию «априорной» невероятности). Затем

я обнаружил, что проверяемость и, следовательно, априорная неве-

роятность могут быть отождествлены с малочисленностью парамет-

ров, и только в конечном итоге я отождествил высокую степень про-

веряемости с высокой степенью простоты. Таким образом, мои взгля-

ды могут быть выражены такой схемой:

проверяемость = высокая априорная

невероятность = малочисленность параметров = простота.

Заметим, что две эти схемы частично совпадают. Однако в ре-

шающем пункте, когда речь заходит о вероятности и невероятности,

они находятся в прямом противоречии друг с другом (см. также [70,

прил. *VIII]).

187

такого же рода. Когда нашей целью является знание,

простые высказывания следует ценить выше менее

простых, потому что они сообщают нам больше, потому

-что больше их эмпирическое содержание и потому что

'Они лучше проверяемы.

44. Геометрический образ и функциональная форма

Наша концепция простоты помогает нам разрешить

•ряд противоречий, которые до сих пор ставили под со-

мнение полезность применения понятия простоты.

Немногие, я думаю, считают геометрический образ,

•скажем, логарифмической кривой очень простым. Од-

нако закон, который может быть представлен с помощью

логарифмической функции, обычно считается простым.

Аналогичным образом функция синуса, по общему мне-

нию, является простой, хотя геометрический образ си-

нусоиды, возможно, не является столь простым.

Трудности такого рода можно устранить, если мы

вспомним о связи между числом параметров и сте-

пенью фальсифицируемости и проведем различение

между формальной и материальной редукциями раз-

мерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли

инвариантности по отношению к преобразованиям си-

стем координат.) Когда речь идет о геометрической

-.форме или об образе некоторой кривой, мы требуем от

нее инвариантности по отношению ко всем преобразо-

ваниям, принадлежащим к группе переносов. Мы мо-

жем также потребовать при этом инвариантности по

отношению к преобразованиям подобия, так как обыч-

но предполагается, что геометрическая форма или гео-

метрический образ не связаны с определенным местом

на плоскости. Следовательно, если мы рассматриваем

форму однопараметрической логарифмической кривой

(y = logax), не связывая ее с определенным местом на

плоскости, то такая кривая будет зависеть от пяти па-

раметров (если допустить преобразования подобия).

Таким образом, она ни в коем случае не является весь-

ма простой кривой. Если же некоторая логарифмическая

кривая представляет теорию или закон, то указанные

преобразования координат не имеют значения. В таких

случаях использованиевращений, параллельных пере-

носов и преобразований подобия не имеет смысла, так

жак логарифмическая кривая здесь, как правило, яв-

188

ляется графическим представлением, в котором оси ко-

ординат не взаимозаменяемы (к примеру, ось χ может

представлять атмосферное давление, а ось у — высоту

над уровнем моря). По этой же причине преобразова-

ния подобия также не играют здесь никакой роли. Ана-

логичные соображения применимы и к колебаниям си-

нусоиды вокруг некоторой конкретной оси, к примеру

вокруг оси времени, и ко многим другим случаям.

45. Простота евклидовой геометрии

Одним из вопросов, занимавших важное место в

большинстве дискуссий о теории относительности, был

вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом

никто даже не пытался усомниться в том, что евклидо-

ва геометрия как таковая проще, чем любая неевкли- ·

дова геометрия с данной постоянной кривизной, не го-

.воря уже о неевклидовых геометриях с переменной кри-

визной.

На первый взгляд кажется, что используемое при

таком сравнении понятие простоты не имеет почти ни-

чего общего со степенями фальсифицируемое™. Одна-

ко если высказывания о простоте различных геометрий

сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обна-

ружится, что два интересующих нас понятия — простота

и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.

Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам

помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем ми-

ре необходимо использовать некоторую метрическую

геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны».

Эта гипотеза допускает проверку только в том случае,

если мы отождествим некоторые геометрические сущ-

ности с определенными физическими объектами, на-

пример прямые линии ·— со световыми лучами, точки —

с пересечением нитей и т. п. Если принять такое отож-

дествление (то есть соотносящее определение или, воз-

можно, некоторое остенсивное определение — см. разд.

17), то можно показать, что гипотеза о справедливости

евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируе-

ма в большей степени, чем любая другая конкурирую-

щая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой

неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы из-

мерим сумму углов светового треугольника, то любое

значительное отклонение от 180 градусов фальсифици-