Интерполяционный многочлен Лагранжа 7 страница

Т.к. конечные разности 4-го порядка почти постоянные, то влияние конечных разностей старшего порядка незначительно. Поэтому вычисление производной проведем по формуле:

Т.к. ближайший слева от x=0,12 узел .

Значение t найдем из равенства

Аналитическое выражение функции:

Поэтому точное значение

Абсолютная погрешность равна

Ответ: ,

 

Порядок выполнения работы: Вычислить значение производной в точке x=0,62 функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Ньютона. Найти значение производной функции в точке x=0,62 из ее аналитического выражения и вычислить абсолютную погрешность.

 

 

x	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2
sinx	0,5646	0,6442	0,7174	0,7833	0,8415	0,8912	0,9320

 

x	0,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65
cos x	0,9988	0,9888	0,9689	0,9394	0,9004	0,8525	0,7961

Контрольные вопросы

1. В каких случаях прибегают к приближенному дифференцированию?

2. Как по табличным данным можно находить аналитическое выражение производной?

3. Что представляет собой интерполяционная формула Ньютона?

4. Как составляют таблицу конечных разностей для данной функции?

5. В чем заключается неккоректность задачи численного дифференцирования?

6. В чем заключается применение ряда Тейлора для численного дифференцирования?

 

Практическое занятие № 17

Тема: «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера»

Основные вопросы: Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши. Геометрический смысл правой части дифференциального уравнения. Понятие численного решения задачи Коши. Метод Эйлера. Усовершенствования метода Эйлера. Метод Эйлера-Коши. Метод Рунге-Кутты. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного перерасчета.

Краткие теоретические сведения: Пусть требуется найти на отрезке [ а, b ] решение обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии . Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подста­новке в уравнение обращает его в тождество.

Рассмотрим численные методы решения этой задачи. Отметим, что численные методы дают искомое приближенное решение в виде таблицы значений.

Разобьем отрезок [ а, b ] на n равных частей - элементарных отрезков точками x ₀, x ₁,..., х_n, причем, х ₀ = а, х_n = b. Величину будем называть шагом интегрирования. Тогда

.

Метод Эйлера. Согласно методу Эйлера, зная значение искомой функции в начале отрезка [ а, b ]: , приближенное значение решения уравнения в точке у₁, можно определить по формуле

.

Затем в качестве у₀ выступает значение у₁, находится у₂ и т.д.

Общая итерационная формула метода Эйлера имеет вид

.

Геометрический смысл мето­да Эйлера заключается в аппрок­симации решения на отрезке [ x_i, x_i+1 ] отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке x_i (рис. 20). Затем строится касательная к кривой у = у (х) в точке x_i+1 и переносится парал­лельно самой себе до совмещения с концом касательной, полученной на предыдущей итерации.

Полученная ломаная и будет представлять собой приближенное решение, полученное методом Эйлера.

Формула Эйлера имеет погрешность метода .

Часто при решении дифференциального уравнения численными методами требуется обеспечить точность вычислений ɛ. Для практического выбора шага h с целью обеспечения заданной точности ɛ при­меняется следующий прием.

Выполняются два расчета: с числом разбиений n и 2 n. Вычисления заканчивают, если . В случае, если полученные результаты отличаются более чем на требуемую точность, число раз­биений удваивается и вновь производится сравнение результатов.

Метод Эйлера-Коши. В данном методе на каждом интервале расчет проводится в два этапа. На первом (этап прогноза) определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера, на втором (этапе коррекции) уточняется значение решения на правом конце с использованием полусуммы тангенсов углов наклона на концах интервала:

Dy_i= × (f(x_i, y_i)+f(x_i+1, )), где = y_i+h× f(x_i, y_i).

Абсолютную погрешность метода определяют из приближенного равенства

| -y(x_i) |» | - y_i |, i=1,2,…,n.