де Т(х) — п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х0.

Таким чином, доведено, що існують точки x, такі що

.

2. Нехай m ¹ M. Тоді функція f (х) набуває найбільшого значення М або найменшого значення m у точці x усередині інтервалу
(а, b). У цій точці за теоремою Ферма похідна перетворюється на 0.

.

Отже, доведено, що коли виконуються умови теореми Ролля, на інтервалі (а, b) існує хоча б одна точка x, в якій похідна дорівнює нулю. ¨

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови теореми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю (на рис. 5.17 таких точок три).

Рис. 5.17

У точках x₁, x₂, x₃ дотична завжди горизонтальна, оскільки .

Формулювання теореми Ролля в разі, коли f (a) = f (b) = 0:

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a, b], що визначається її коренями, і диференційовна усередині такого відрізка, то обов’язково між коренями функції знайдеться хоча б один корінь її похідної.

Зауваження. Якщо порушується хоча б одна з умов теореми Ролля, то може не бути точки, в якій похідна функції дорівнює нулю.

Функція f (х) визначена на відрізку [ a, b ] і в одній із внутрішніх його точок х ₁ порушується умова диференційовності функції (рис. 5.18).

 

 

Рис. 5.18

 

Тому на інтервалі немає точки, в якій похідна перетворюється на нуль.

5.3.3. Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію f (х), неперервну на відрізку [ a, b ] і диференційовну на інтервалі (а і b). Тоді знайдеться точка x
(а < x < b), така що похідна f¢ (x) функції в цій точці f¢ (x) дорівнюватиме відношенню :

.

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F (x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля, тобто неперервна усередині відрізка [ a, b ] і F (a) = F (b). Подамо функцію F (x) у вигляді

,

де l — деяка (поки що невідома) стала.

Усі умови теореми Ролля виконуватимуться, якщо взяти l таке, що

,

або

.

Звідси

.

Отже,

.

Таким чином, функція F (x) задовольняє всі умови теореми Ролля і тому на інтервалі (а, b) знайдеться деяка точка x, така що :

.

Звідси

¨

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. На інтервалі (a, b) знайдеться хоча б одна точка x, в якій дотична є паралельною хорді АВ, що сполучає кінці дуги функції f (x) на відрізку [ a, b ] (рис 5.19).

Рис. 5.19.

5.3.4. Теорема Коші

Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку [a, b] задано дві функції f(x) і j(x). Якщо ці функції неперервні на відрізку [a, b] і диференційовні на інтервалі (a, b), причому не перетворюється на нуль, то на інтервалі (a, b) існує точка x (а < x < b), така що

(1)

Зауваження. Ця теорема не отримується безпосередньо застосуванням теореми Лагранжа до знаменника і чисельника лівої частини рівності (1).

Якщо безпосередньо застосуємо її до чисельника і знаменника формули (1), дістанемо:

де у загальному випадку

У формулі (1) j(b) ¹ j(a), а отже, .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F (x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля. Нехай, наприклад, F (x) подається у вигляді:

де l — не визначена поки що стала.

За властивостями функцій f (x) і j(x), зазначеними в умові теореми Коші, функція F (x) за побудовою буде неперервною на відрізку [ a, b ] і диференційовною на інтервалі (a, b).

Залишається вимагати, щоб виконувалася умова F (a) = F (b).

Визначимо сталу l за цією умовою:

.

Оскільки , дістанемо

Тоді допоміжна функція

задовольняє всі умови теореми Ролля на відрізку [ a, b ].

Отже, усередині цього відрізка існує точка x (а < x < b), така що :

або

¨

Геометрична інтерпретація

Нехай рівняння

є рівнянням кривої, де на функції і накладено умови теореми Коші (рис. 5.20).

 

 

Рис. 5.20

Тоді є кутовим коефіцієнтом хорди, що сполучає точки і кривої, а кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої (1) у точці є відношення . Отже, теорема Коші стверджує існування точки x, в якій дотична до кривої (1) паралельна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.

Чи задовольняє функція умови теореми Ферма на відрізку [1; 2]?

· Функція f (x) не задовольняє умову теореми Ферма, оскільки вона монотонно зростає на відрізку [1; 2], набуваючи найбільшого значення при х = 2 і найменшого при х = 1. Отже, не можна стверджувати, що . Справді, і .

Довести, що рівняння

має лише один дійсний корінь.

· Існування хоча б одного дійсного кореня випливає з того, що многочлен має непарний степінь. Єдиність кореня доведемо від супротивного.

Припустимо, що існують два корені рівняння . Тоді на відрізку функція f (x) задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна, перетворюється на нуль на кінцях відрізка і в кожній точці має похідну.

Отже, у деякій точці ξ виконується рівність . Але . Здобута суперечність доводить, що задане рівняння має лише один дійсний корінь. ·

Довести нерівність

,

де .

· До функції на відрізку застосуємо формулу Лагранжа:

.

Тоді

,

оскільки

.

Зокрема, покладаючи , дістаємо:

.

Перевірити, що функції і задовольняють умови теореми Коші на відрізку [1; 4] і знайти відповідне значення ξ.

· Задані функції f (x) і g (x) неперервні всюди, а отже, і на відрізку
[1; 4]; їх похідні і є скінченними. Окрім того, не перетворюється на нуль при жодному дійсному х.

Таким чином, можемо застосувати формулу Коші:

тобто .

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо: . Проте лише є внутрішньою точкою відрізка [1; 4]. ·

5.3.5. Узагальнення теореми
про скінченний приріст.
Формула Тейлора

Нехай функція f (x) має п похідних у точці х ₀.

Означення. Многочлен

називається многочленом Тейлора функції f(x) у точці х ₀.

Теорема. Нехай функція f (x) має в e-околі точки х ₀ (n + 1) похідну. Тоді для будь-якої точки х із цього околу знайдеться точка с, розміщена між точками х і х ₀, для якої справджується рівність:

(1)

де Т(х) — п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х0.

Доведення. Визначимо функцію r (x) формулою . Оскільки , маємо . Визначимо ще одну функцію:

.

Для цієї функції також виконується рівність . Тому можна застосувати теорему Коші для перетворення частки функцій r (x) і j(x):

, (2)

де х ₁ — деяка точка, розміщена між точками х ₀ і х. Маємо , оскільки

.

Крім того, .

Звідси . Застосовуючи теорему Коші до співвідношення (2), дістаємо:

, (3)

де точка х ₂ розміщена між х ₀ і х ₁.

Міркуючи так само, застосуємо теорему Коші до співвідношення (3) (п + 1) раз і дістанемо ланцюжок рівностей:

,

де кожна точка х_{k +1} розміщена між х ₀ і х_k (k = 1, …, n). Отже,

, (4)

де ,

.

Узявши с = х_{n + 1} і врахувавши, що f (x) = T (x) + r (x), дістанемо рівність (1).

Формула (1) називається формулою Тейлора, а вираз (4) — залишковим членом у формі Лагранжа.

Беручи у формулі (1) х ₀ = 0, дістанемо формулу, яку називають формулою Маклорена:

де с — точка, розміщена між 0 і х.

5.3.6. Застосування формули Тейлора
в економічних задачах

1. Рівність застосовується в задачах економічної статистики. Наприклад, розглянемо таку задачу.

Припустимо, що для чисел відомо середнє арифметичне

і середнє квадратичне відхилення:

.

Як визначити середнє арифметичне виду

,

якщо числа х ₁, х ₂, …, х_n невідомі, але відомий відрізок, якому вони належать?

· Значення можна, очевидно, знайти лише наближено. При цьому похідна буде настільки малою, наскільки малим буде максимальне значення на відрізку, який містить х ₁, х ₂, …, х_n.

Замінимо функцію f (x) на многочлен Тейлора другого порядку в точці а:

.

Тоді

Оскільки

,

маємо:

. · (7)

Для додатних чисел х ₁, х ₂, …, х_n відоме середнє арифметичне а і середнє квадратичне відхилення δ. Знайти наближено середнє геометричне .

· Середнє геометричне можна подати у вигляді:

.

Використовуючи формулу (7) для функції , одержимо

.

Отже, середнє геометричне дорівнює

. (8)

Нехай р_і — вартість споживчого кошика на 1 січня і -го року, — індекс споживчих цін за цей рік. Відомо, що середнє арифметичне чисел k ₁, k ₂, …, k_n дорівнює 1, а середнє квадратичне відхилення δ = 1. Визначити відносну зміну споживчих цін з 1 січня і -го року по 1 січня (і +10)го року.

· Згідно з формулою (8) знаходимо

.

Далі маємо:

.

Отже, ціни за 10 років зросли приблизно на 5%. ·

 

5.3.7. Розклад основних елементарних функцій
за формулою Тейлора

1. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х ₀ = 0. Для цього обчислюємо:

Далі за формулою Тейлора (1) маємо:

(9)

Зокрема, при х = 1

У цьому розкладі залишковий член прямує до нуля при :

.

Можна записати: .

Цей вираз називають рядами і позначають так:

(10)

2. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х ₀ = 0. Насамперед знайдемо:

, ;

, ;

, ;

, ;

;

.......................................................................................................

За формулою Тейлора (1) дістанемо (рис. 5.21)

(11)

.

Рис. 5.21

Обчислимо, скільки потрібно утримати членів у формулі для того, щоб обчислити значення функції з точністю до 10^–8 при .

● Залишковий член у формулі Тейлора за модулем має бути меншим, ніж 10^–8:

.

Отже, .

Обчислимо кілька членів розкладу при

n = 0,	;
n = 1,	;
n = 3,	;
n = 4,	;
n = 5,	.

Остаточно дістанемо:

3. Розклад за формулою Тейлора функції в т. х ₀ = 0.

Насамперед обчислимо:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Далі за формулою Тейлора (1) дістанемо:

(12)

Знайдемо значення з точністю до 10^–10.

● Оскільки , то

.

Щоб досягти заданої точності, візьмемо

●

5.3.8. Розклад за формулою Тейлора
деяких часто застосовуваних функцій

1. Розклад функції , — довільне число.

Насамперед

,	;
,	;
,	;
,	.

..........................................................................................................

За формулою Тейлора отримаємо розклад

(13)

Цей розклад названо формулою бінома Ньютона на честь її відкривача. Якщо — натуральне число, то розклад містить скінченне число доданків.

Обчислити .

● Маємо

;

.

.

Застосувавши знайдений розклад, обчислимо .

● Виконаємо перетворення ;

.

2. Розклад функції

,	;
,	;
;
,	;
,	;
… … … … … …	… … … … … …

За формулою Тейлора (1) дістанемо розклад

або (14)

5.3.9. Обчислення радикалів

Розглянемо запропонований Л. Ейлером спосіб обчислення радикалів. У формулі бінома Ньютона

,

Згідно з Ейлером візьмемо .

Тоді

,

або

.

Замінивши в розкладі на , запишемо

Після спрощення дістанемо формулу Ейлера:

(15)

Обчислимо .

·

.

За формулою (15) виконується рівність:

 

= , , , , ,	1,400 000 0000; 14 000 0000 210 0000 3 5000
	1,414 213 5623

5.3.10. Інтерполювання функції

У разі виконання обчислень за допомогою таблиць часто буває так, що аргумент функції задано з точністю, яка перевищує табличну. Тоді застосовуємо інтерполювання — наближене знаходження невідомих значень функції за відомими її значеннями в заданих точках.

Найпростішим є лінійне інтерполювання, коли приріст функції вважається пропорційним до приросту аргументу. Якщо задане значення х міститься між наведеними в таблиці значеннями х ₀ і х ₁ = х ₀ + h, яким відповідають значення функції у ₀ = f (x) i y ₁ =
= f (x ₀) + Δ f, то беруть

(1)

Рис. 5.22

Величини називаються інтерполяційними поправками. Їх обчислюють за допомогою таблиці або відшукують у спеціальних довідниках.

Якщо за заданим значенням функції потрібно знайти наближене значення аргументу, то виконують обернене інтерполювання.

Функцію у = f (x) задано таблицею:

x		2,04	2,08
y	2,42	2,88	3,38

1) знайти f (2,008);

2) знайти х, якщо f (x) = 3.

· 1) Маємо х ₀ = 2, f (x) = 2,42.

х ₁ = 2,04, f (x ₁) = 2,88;

h = x ₁ – x ₀ = 2,04 – 2,0 = 0,04;

Δ f = f (x ₁) – f (x ₀) = 2,88 – 2,42 = 0,46.

За інтерполяційною формулою (1) дістаємо:

. ·

2) Обернене інтерполювання можна виконати за цією самою формулою, помінявши місцями х і у:

де х = φ(у) — невідоме значення оберненої функції.

Маємо у ₀ = 2,88; φ(у ₀) = 2,04;

у ₁ = 3,38; φ(у ₁) = 2,08; h = y ₁ – y ₀ = 3,38 – 2,88 = 0,50;

Dj = j(y ₁) – j(y ₀) = 2,08 –2,04 = 0,04.

За інтерполяційною формулою (2) обчислюємо:

.

Зауваження. Якщо результати лінійного інтерполювання не задовольняють потреб щодо точності, застосовують точніші методи інтерполювання, наприклад квадратичне інтерполювання.