Задания для самостоятельного решения. 1.1. Составьте общее, каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей:

 

I уровень

1.1. Составьте общее, каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей:

1) через точку M ₀(1, 2) перпендикулярно вектору

2) через точку M ₀(–2, 3) параллельно вектору

3) через две точки M ₁(–1, 3) и M ₂(2, –3).

1.2. Составьте уравнение «в отрезках» прямой 2 x + 3 y – 6 = 0.

1.3. Определите угловой коэффициент прямой и постройте ее в прямоугольной системе координат xOy.

1.4. Прямая задана параметрическими уравнениями . Найдите:

1) направляющий вектор прямой;

2) координаты точек, для которых t ₁ = 3, t ₂ = –1, t ₃ = 0;

3) значения параметра t для точек пересечения прямой с осями координат;

4) среди точек А (–3, 4), В (1, 1), С (9, 1) – принадлежащие данной прямой.

1.5. Определите, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются:

1) 2 x + 3 y – 8 = 0 и 4 x + 6 y – 10 = 0;

2) 2 x + 3 y – 8 = 0 и

3) 2 x + 3 y – 8 = 0 и

 

II уровень

2.1. Напишите параметрические уравнения прямой:

1) y = 2 x – 3; 2) 5 x – y = 0;

3) 4) 2 x – 3 = 0.

2.2. Напишите общее уравнение прямой:

1) 2) 3)

2.3. Найдите угловой коэффициент прямой:

1) 2) 3 x + 4 y + 5 = 0; 3)

2.4. Дан треугольник АВС: А (1, 1), В (–2, 3), С (4, 7). Напишите уравнения сторон и медианы этого треугольника, проведенной из вершины А.

2.5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (–2, 5) и отсекающей на координатных осях отрезки равной длины.

2.6. Даны середины М ₁(1, 2), М ₂(3, 4), М ₃(5, –1) сторон треугольника. Составьте уравнения сторон этого треугольника.

2.7. Пусть точки А (1, 5), В (–4, 3), С (2, 9) являются вершинами треугольника АВС. Составьте уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

2.8. Даны уравнения сторон параллелограмма: x + y – 2 = 0, 2 x – y + 4 = 0 и точка M (3, 1) пересечения его диагоналей. Составьте уравнения двух других сторон параллелограмма.

2.9. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3 x – 5 y + 2 = 0, 5 x – 2 y + 4 = 0 и

1) начало координат;

2) параллельную оси Oy;

3) параллельную прямой 2 x – y + 4 = 0;

4) перпендикулярную прямой x + 3 y + 2 = 0.

2.10. Найдите расстояние от точки М (2, –1) до прямой, проходящей через точки А (–1, 3) и В (3, 4).

2.11. Даны вершины треугольника А (2, 5), В (1, 3), С (7, 0). Вычислите длины его высот.

2.12. Найдите вершины и величины углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 3 y = 0, x = 3, x – 2 y + 3 = 0.

 

III уровень

3.1. Даны две вершины A (–6, 2), B (2, –2) треугольника ABC и точка H (1, 2) пересечения его высот. Найдите координаты третьей вершины C.

3.2. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки A (1, 2), B (3, –2), C (5, 6).

3.3. Даны вершины A (1, –2), B (5, 4), C (–2, 0) треугольника. Составьте уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

3.4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку P (–3, –5), отрезок которой между прямыми 2 x + 3 y – 15 = 0 и 4 x – 5 y – 12 = 0 в точке P делится пополам.

 

3.5. Составьте уравнение биссектрисы угла между прямыми x + 2 y – 11 = 0 и 3 x – 6 y – 5 = 0, которому принадлежит точка A (1, –3).

3.6. В полярной системе координат составьте уравнение прямой, проходящей:

1) через полюс и образующей с полярной осью угол π /5;

2) через точку A (5, π /4) перпендикулярно полярной оси.

 

 

Эллипс

 

1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(21)

где . (22)

Уравнение (21) называется каноническим уравнением эллипса.

Параметры эллипса:

Точки F ₁(–c, 0) и F ₂(c, 0), где называются фокусами эллипса, при этом величина 2 c определяет междуфокусное расстояние.

Точки А ₁(– а, 0), А ₂(а, 0), В ₁(0, –b), B ₂(0, b) называются вершинами эллипса, при этом А ₁ А ₂ = 2 а образует большую ось эллипса, а В ₁ В ₂ – малую, – центр эллипса.

 

 

Рис. 12

 

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε = с / a – эксцентриситет эллипса;

– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r₁ = a + εx, r ₂ = a – εx;

– директрисы эллипса.

Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

 

2. Если b > a > 0, то эллипс также задается уравнением (21), для которого вместо условия (22) выполняется условие

. (23)

Тогда 2 а – малая ось, 2 b – большая ось, – фокусы (рис. 13). При этом r ₁ + r ₂ = 2 b, ε = c / b, директрисы определяются уравнениями

 

Рис. 13

 

При условии имеем (в виде частного случая эллипса) – окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2 а (рис. 12).

3. Для параметрического задания эллипса (21) в случаях (22) и (23) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:

где

 

4. Если центр эллипса с полуосями находится в точке , то его уравнение имеет вид

. (24)

Пример 1. Привести уравнение эллипса x ² + 4 y ² = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Сделать чертеж.

Решение. Разделим уравнение x ² +4 y ² = 16 на 16, после чего получим: По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (21), где а = 4 – большая полуось b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A ₁(–4, 0), A ₂(4, 0), B ₁(0, –2), B ₂(0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычисляем эксцентриситет: . Директрисы D ₁, D ₂ описываются уравнениями

.

Изображаем эллипс – рис. 14.

 

 

Рис. 14

Пример 2. Определить параметры эллипса

.

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса . Находим центр эллипса : . Большая полуось , малая полуось , прямые , – главные оси. Половина междуфокусного расстояния , а значит, фокусы , . Эксцентриситет . Директрисы и могут быть описаны с помощью уравнений , (рис.15).

 

 

Рис.15

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

1) x ² + y ² + 4 x – 2 y + 4 = 0; 2) x ² + y ² + 4 x – 2 y + 6 = 0;

3) x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 13 = 0; 4) x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 17 = 0;

5) .

Решение. 1. Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата:

x ² + y ² + 4 x – 2 y + 4 =0;

(x ² + 4 x) + (y ² – 2 y) + 4 =0;

(x ² + 4 x + 4) – 4 + (y ² – 2 y + 1) – 1 + 4 =0;

(x + 2)² + (y – 1)² – 1.

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду:

(x + 2)² + (y – 1)² = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 16).

 

 

Рис. 16

2. Выделяем полные квадраты в левой части уравнения и получаем

(x + 2)² + (y – 1)² = –1.

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение, так называемой, «мнимой окружности» или, проще, оно задает пустое множество точек плоскости.

 

3. Выделяем полные квадраты:

x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 13 =0;

(x ² – 2 x + 1) – 1 + 4(y ² + 4 y + 4) – 16 + 13 =0;

(x – 1)² + 4(y + 2) – 17 + 13 =0;

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 4.

Значит, уравнение имеет вид:

или .

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О ₁(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 2, малая полуось b = 1 (рис. 17).

 

 

Рис. 17

 

4. После выделения полных квадратов имеем

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 17 + 17 =0 или

(x – 1)² + 4(y + 2)²=0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5. Приведем уравнение к каноническому виду

;

;

.

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке , главные оси задаются уравнениями , причем большая полуось , малая полуось (рис.18).

 

 

Рис18

 

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x ² + 4 y ² = 4.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (21):

Значит, и правый фокус Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

Получаем

Значит, искомое уравнение окружности имеет вид

.

Ее радиус – , центр находится в точке , рис. 19.

 

Рис. 19

 

Пример 5. Записать уравнение окружности, проходящей через точку М (1, –2) и точки пересечения прямой x – 7 y + 10 = 0 с окружностью x ² + y ² – 2 x + 4 y – 20 = 0.

Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7 y + 10 = 0 с окружностью x ² + y ² – 2 x + 4 y – 20 = 0, решив систему уравнений:

Выразим из первого уравнения системы:

x = 7 y – 10

и подставим во второе:

(7 y – 10)² + y ² – 2(7 y – 10) + 4 y – 20 = 0.

Оно равносильно уравнению

y ² – 3 y + 2 = 0.

Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y ₁ = 1, y ₂ = 2, откуда x ₁ = –3, x ₂ = 4.

Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M (1, –2), M ₁(4, 2) и M ₂(–3, 1). Пусть О ₁(x ₀, y ₀) – центр окружности. Тогда где R – радиус окружности.

Значит,

что равносильно системе

Упрощаем ее:

Решая последнюю систему, получаем ответ:

Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус –

Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид: