I уровень
1.1. Составьте общее, каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей:
1) через точку M 0(1, 2) перпендикулярно вектору 
2) через точку M 0(–2, 3) параллельно вектору 
3) через две точки M 1(–1, 3) и M 2(2, –3).
1.2. Составьте уравнение «в отрезках» прямой 2 x + 3 y – 6 = 0.
1.3. Определите угловой коэффициент прямой 
и постройте ее в прямоугольной системе координат xOy.
1.4. Прямая задана параметрическими уравнениями 
. Найдите:
1) направляющий вектор прямой;
2) координаты точек, для которых t 1 = 3, t 2 = –1, t 3 = 0;
3) значения параметра t для точек пересечения прямой с осями координат;
4) среди точек А (–3, 4), В (1, 1), С (9, 1) – принадлежащие данной прямой.
1.5. Определите, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются:
1) 2 x + 3 y – 8 = 0 и 4 x + 6 y – 10 = 0;
2) 2 x + 3 y – 8 = 0 и 
3) 2 x + 3 y – 8 = 0 и 
II уровень
2.1. Напишите параметрические уравнения прямой:
1) y = 2 x – 3; 2) 5 x – y = 0;
3) 
4) 2 x – 3 = 0.
2.2. Напишите общее уравнение прямой:
1) 
2) 
3) 
2.3. Найдите угловой коэффициент прямой:
1) 
2) 3 x + 4 y + 5 = 0; 3) 
2.4. Дан треугольник АВС: А (1, 1), В (–2, 3), С (4, 7). Напишите уравнения сторон и медианы этого треугольника, проведенной из вершины А.
2.5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (–2, 5) и отсекающей на координатных осях отрезки равной длины.
2.6. Даны середины М 1(1, 2), М 2(3, 4), М 3(5, –1) сторон треугольника. Составьте уравнения сторон этого треугольника.
2.7. Пусть точки А (1, 5), В (–4, 3), С (2, 9) являются вершинами треугольника АВС. Составьте уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.
2.8. Даны уравнения сторон параллелограмма: x + y – 2 = 0, 2 x – y + 4 = 0 и точка M (3, 1) пересечения его диагоналей. Составьте уравнения двух других сторон параллелограмма.
2.9. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3 x – 5 y + 2 = 0, 5 x – 2 y + 4 = 0 и
1) начало координат;
2) параллельную оси Oy;
3) параллельную прямой 2 x – y + 4 = 0;
4) перпендикулярную прямой x + 3 y + 2 = 0.
2.10. Найдите расстояние от точки М (2, –1) до прямой, проходящей через точки А (–1, 3) и В (3, 4).
2.11. Даны вершины треугольника А (2, 5), В (1, 3), С (7, 0). Вычислите длины его высот.
2.12. Найдите вершины и величины углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 3 y = 0, x = 3, x – 2 y + 3 = 0.
III уровень
3.1. Даны две вершины A (–6, 2), B (2, –2) треугольника ABC и точка H (1, 2) пересечения его высот. Найдите координаты третьей вершины C.
3.2. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки A (1, 2), B (3, –2), C (5, 6).
3.3. Даны вершины A (1, –2), B (5, 4), C (–2, 0) треугольника. Составьте уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.
3.4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку P (–3, –5), отрезок которой между прямыми 2 x + 3 y – 15 = 0 и 4 x – 5 y – 12 = 0 в точке P делится пополам.
3.5. Составьте уравнение биссектрисы угла между прямыми x + 2 y – 11 = 0 и 3 x – 6 y – 5 = 0, которому принадлежит точка A (1, –3).
3.6. В полярной системе координат составьте уравнение прямой, проходящей:
1) через полюс и образующей с полярной осью угол π /5;
2) через точку A (5, π /4) перпендикулярно полярной оси.
Эллипс
1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
(21)
где 
. (22)
Уравнение (21) называется каноническим уравнением эллипса.
Параметры эллипса:
Точки F 1(–c, 0) и F 2(c, 0), где 
называются фокусами эллипса, при этом величина 2 c определяет междуфокусное расстояние.
Точки А 1(– а, 0), А 2(а, 0), В 1(0, –b), B 2(0, b) называются вершинами эллипса, при этом А 1 А 2 = 2 а образует большую ось эллипса, а В 1 В 2 – малую, 
– центр эллипса.
 |
Рис. 12
Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:
ε = с / a – эксцентриситет эллипса;
– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r1 = a + εx, r 2 = a – εx;
– директрисы эллипса.
Для эллипса справедливо: 
директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством 
Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».
2. Если b > a > 0, то эллипс также задается уравнением (21), для которого вместо условия (22) выполняется условие
. (23)
Тогда 2 а – малая ось, 2 b – большая ось, 
– фокусы (рис. 13). При этом r 1 + r 2 = 2 b, ε = c / b, директрисы определяются уравнениями
Рис. 13
При условии 
имеем (в виде частного случая эллипса) – окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит, ε = 0.
Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2 а (рис. 12).
3. Для параметрического задания эллипса (21) в случаях (22) и (23) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:
где 
4. Если центр эллипса с полуосями 
находится в точке 
, то его уравнение имеет вид
. (24)
Пример 1. Привести уравнение эллипса x 2 + 4 y 2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Сделать чертеж.
Решение. Разделим уравнение x 2 +4 y 2 = 16 на 16, после чего получим: 
По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (21), где а = 4 – большая полуось b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A 1(–4, 0), A 2(4, 0), B 1(0, –2), B 2(0, 2). Так как 
– половина междуфокусного расстояния, то точки 
являются фокусами эллипса. Вычисляем эксцентриситет: 
. Директрисы D 1, D 2 описываются уравнениями
.
Изображаем эллипс – рис. 14.
Рис. 14
Пример 2. Определить параметры эллипса
.
Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса 
. Находим центр эллипса 
: 
. Большая полуось 
, малая полуось 
, прямые 
, 
– главные оси. Половина междуфокусного расстояния 
, а значит, фокусы 
, 
. Эксцентриситет 
. Директрисы 
и 
могут быть описаны с помощью уравнений 
, 
(рис.15).
Рис.15
Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:
1) x 2 + y 2 + 4 x – 2 y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4 x – 2 y + 6 = 0;
3) x 2 + 4 y 2 – 2 x + 16 y + 13 = 0; 4) x 2 + 4 y 2 – 2 x + 16 y + 17 = 0;
5) 
.
Решение. 1. Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата:
x 2 + y 2 + 4 x – 2 y + 4 =0;
(x 2 + 4 x) + (y 2 – 2 y) + 4 =0;
(x 2 + 4 x + 4) – 4 + (y 2 – 2 y + 1) – 1 + 4 =0;
(x + 2)2 + (y – 1)2 – 1.
Таким образом, уравнение может быть приведено к виду:
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 1.
Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 16).
Рис. 16
2. Выделяем полные квадраты в левой части уравнения и получаем
(x + 2)2 + (y – 1)2 = –1.
Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение, так называемой, «мнимой окружности» или, проще, оно задает пустое множество точек плоскости.
3. Выделяем полные квадраты:
x 2 + 4 y 2 – 2 x + 16 y + 13 =0;
(x 2 – 2 x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4 y + 4) – 16 + 13 =0;
(x – 1)2 + 4(y + 2) – 17 + 13 =0;
(x – 1)2 + 4(y + 2)2 – 4.
Значит, уравнение имеет вид:
или 
.
Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О 1(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 2, малая полуось b = 1 (рис. 17).
 |
Рис. 17
4. После выделения полных квадратов имеем
(x – 1)2 + 4(y + 2)2 – 17 + 17 =0 или
(x – 1)2 + 4(y + 2)2=0.
Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).
5. Приведем уравнение к каноническому виду
;
;
.
Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке 
, главные оси задаются уравнениями 
, причем большая полуось 
, малая полуось 
(рис.18).
Рис18
Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x 2 + 4 y 2 = 4.
Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (21):
Значит, 
и правый фокус 
Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:
Получаем
Значит, искомое уравнение окружности имеет вид
.
Ее радиус – 
, центр находится в точке 
, рис. 19.
 |
Рис. 19
Пример 5. Записать уравнение окружности, проходящей через точку М (1, –2) и точки пересечения прямой x – 7 y + 10 = 0 с окружностью x 2 + y 2 – 2 x + 4 y – 20 = 0.
Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7 y + 10 = 0 с окружностью x 2 + y 2 – 2 x + 4 y – 20 = 0, решив систему уравнений:
Выразим 
из первого уравнения системы:
x = 7 y – 10
и подставим во второе:
(7 y – 10)2 + y 2 – 2(7 y – 10) + 4 y – 20 = 0.
Оно равносильно уравнению
y 2 – 3 y + 2 = 0.
Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y 1 = 1, y 2 = 2, откуда x 1 = –3, x 2 = 4.
Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M (1, –2), M 1(4, 2) и M 2(–3, 1). Пусть О 1(x 0, y 0) – центр окружности. Тогда 
где R – радиус окружности.
Значит,
что равносильно системе
Упрощаем ее:
Решая последнюю систему, получаем ответ:
Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус –
Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид:
