Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов 
, 
При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора 
называется осью абсцисс. Oсь y, совпадающая по направлению с вектором 
– осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину 
Координатами точки М являются соответственно алгебраические проекции точки М на координатные оси Ox и Oy. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M (x, y).
Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор 
который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: 
Вектор 
может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов 
.
Если на плоскости заданы точки A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), то
,
длина
(5)
Пусть 
тогда единичный вектор (орт) есть
(6)
При этом координаты орта 
задают направление вектора 
и называются направляющими косинусами. Если 
то
. (7)
Если 
, то верны формулы
(8)
(9)
(10)
. (11)
Для коллинеарных векторов 
выполняется
.
Координаты точки C (xc, yc), делящей отрезок AB в отношении λ > 0, находят по формулам
(12)
Пример 1. Вектор образует с вектором угол 
Найти координаты вектора на плоскости, если 
Решение. Орт вектора на плоскости xOy имеет координаты 
. Используя формулы (6) и (7), получаем 
Так как 
то 
.
Пример 2. Найти координаты векторов, определяемых диагоналями параллелограмма, построенного на векторах 
Решение. Известно, что сумма и разность векторов и 
определяют диагонали параллелограмма, построенного на них. Значит, 
Тогда
и, значит,
Аналогично
Пример 3. Координаты левого конца отрезка AB и его середины M соответственно равны A (–1, –5) и M (3, –2). Найти координаты точки В.
Решение. Пусть В (xB, yB). Середина отрезка делит его длину в отношении 1:1, т. е. λ = 1. Значит, из формул (12) имеем 
откуда получаем
Приходим к ответу: В (7, 1).
Пример 4. Даны векторы 
Вычислить:
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение. 1. Используя формулу (10), имеем
2. Согласно формулам (8), (9), получаем
Тогда, на основании формулы (10) вычисляем
Получить тот же результат можно и несколько по-другому. Используем свойства скалярного произведения, а затем формулы (5) и (10):
3. Найдем координаты вектора 
, используя формулы (8) и (9)
Значит, по формуле длины вектора (5) получаем
В качестве второго способа решения примера можно использовать следующий. Поскольку 
, то
Находим
4. Используем формулу (11) и получаем
Пример 5. Даны векторы 
Найти косинус угла между векторами 
и 
для которых 
Решение. Выразим 
из первого заданного соотношения: 
Тогда, подставив во второе соотношение, получим 
откуда
Значит, на основании формулы (11), получаем
Пример 6. Пусть векторы 
получены из векторов 
поворотом относительно точки О на угол 
(рис. 8). Представить произвольный вектор 
в виде линейной комбинации векторов 
если 
 |
Рис. 8
Решение. Зафиксируем прямоугольную систему координат 
с единичными векторами 
В этой системе координат определим направляющие косинусы векторов
Это значит, что
откуда
