Векторы и аналитическая геометрия на плоскости
Векторы и простейшие действия над ними
Под вектором на плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается 
(или 
). Модулем, или длиной, 
такого вектора называется длина отрезка 
.
Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают 
или 
, ….
Различают векторы связанные (закрепленные), то есть с фиксированным началом, и свободные. Под свободным вектором 
понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.
Векторы и 
называются коллинеарными (обозначение: 
), если они лежат на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными (обозначение: 
), а если противоположное – противоположно направленными (обозначение: 
).
Два вектора 
называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: 
. При этом запись 
понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.
Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается 
. Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.
Пусть заданы два ненулевых вектора 
. Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы 
. Под углом 
между векторами 
и 
понимают наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением вектора . Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до p.
Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов 
.
Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) | λ | = |λ| | |;
2) λ ↑↑ , если λ > 0,
λ ↑↓ , если λ < 0,
λ = 
, если λ = 0 или = .
Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора , их суммой является вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы: 
.
 |
Рис. 1
Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор , который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 2).
Рис. 2
Сумма трех и более векторов 
может быть найдена по правилу ломаной (замыкающей). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора 
, а конец – с концом вектора 
(рис. 3).
Рис. 3
Свойства линейных операций над векторами:
1) коммутативность сложения векторов, т. е.
;
2) ассоциативность сложения векторов, т. е.
;
3) дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число λ, т. е.
;
дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.
;
4) 
;
5) 
;
6) коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.
.
Вектор 
называется противоположным вектору .
Разностью векторов и называется вектор
.
Для того чтобы найти разность 
, необходимо: привести векторы и к общему началу. Тогда разностью является вектор, у которого начало совпадает с концом вектора , а конец - с началом вектора (рис. 4).
 |
Рис. 4
Таким образом, геометрически векторы 
и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , которые приведены к общему началу (рис. 5): 
, 
Рис. 5
Вектор 
называется ортом (единичным вектором) вектора , если 
и 
. Для его нахождения может быть использована формула
.
Вектор называется линейной комбинацией векторов 
, если существуют числа 
такие, что
, 
.
Говорят, что точка C делит вектор 
в отношении λ (λ > 0), если 
= λ 
.
Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.
Скалярным произведением 
двух ненулевых векторов и называется число
.
Скалярное произведение обозначается также 
.
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то 
.
Скалярным квадратом вектора называется величина
.
Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой 
по перемещению материальной точки на вектор 
, то есть
.
Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой
.
Свойства скалярного произведения:
1) 
– коммутативность;
2) 
–дистрибутивность;
3) 
;
4) 
тогда и только тогда, когда 
;
5) 
тогда и только тогда, когда 
,
тогда и только тогда, когда 
6) 
7) 
.
Пример 1. По заданным трем векторам 
(рис. 6(а)) изобразить их линейную комбинацию 
.
Рис. 6 (а)
Решение. Зафиксируем на плоскости произвольную точку О и отложим от нее вектор 
(рис. 6(б)). Затем от конца вектора отложим вектор 
и, наконец, вектор , исходящий из концевой точки вектора . Искомая линейная комбинация 
изображается вектором, замыкающим полученную ломаную с началом в точке О.
Рис. 6 (б)
Пример 2. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами и .
Решение. 1-й способ. Пусть для определенности 
. Тогда 
. Рассмотрим векторы и 
с общим началом в некоторой точке. По определению суммы векторов, вектор 
совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и 
. Поскольку 
, то вектор совпадает с диагональю ромба, а значит, с направлением биссектрисы угла между этими векторами и векторами и . Используя введенные обозначения, заключаем, что искомое направление биссектрисы может быть задано вектором 
.
Аналогично можно показать, что вектором, задающим направление этой же биссектрисы, является также и 
2-й способ. Отложим от фиксированной точки плоскости единичные векторы 
и построим на них ромб, диагональ которого 
совпадает с направлением биссектрисы угла между векторами 
а значит, между и .
Пример 3. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно λ. Полагая 
выразить через и векторы 
Решение. Проведем диагонали AC и BD (рис. 7). Пусть О – точка их пересечения.
 |
Рис. 7
Тогда из подобия треугольников AOD и COB и условия 
следует, что 
Имеем
Аналогично
Тогда
Пример 4. Найти угол, образованный единичными векторами 
и 
, если 
, причем 
Решение. Найдем скалярное произведение
Из условия следует 
, т. е.
Учитывая, что 
имеем
Значит,
.
Из последнего соотношения получаем
Пример 5. Найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах и 
угол между которыми 600, причем 
Решение. По определению линейных операций над векторами, диагонали 
параллелограмма, построенного на векторах 
, равны соответственно 
Так как 
то имеем следующее:
