I уровень
1.1. Найдите полярные координаты точек A (1, 1), B 
C (–2, 2), D (0, 1), E (–3, 0), F (2, 0), G (0, –1), H (1, 
)
1.2. Зная полярные координаты точек 
найдите их прямоугольные координаты.
1.3. Уравнение линии на плоскости задано в прямоугольных координатах. Найдите их соответствующее уравнение в полярных координатах (полюс совпадает с началом прямоугольной системы координат, полярная ось – с осью абсцисс):
1) ρ = 2; 2) 
; 3) ρ = 2sin φ.
1.4. Найдите уравнение линии в прямоугольной системе координат, если известны параметрические уравнения (исключить параметр):
1) 
2) 
3) 
II уровень
2.1. Найдите полярные координаты точек, симметричных им относительно полярной оси
.
2.2. Даны полярные координаты точек 
и 
. Вычислите полярные координаты середины отрезка АВ.
2.3. Определите, какую кривую на плоскости образуют точки, для которых расстояние от точки А (4, 0) вдвое больше расстояния от точки В (1, 0).
2.4. Найдите полярные уравнения фигур, если известны их уравнения в прямоугольной системе координат xOy:
1) 
2) 
3) 
III уровень
3.1. Найдите уравнение кривой, состоящей из тех точек плоскости, разность расстояний от которых до точек F 1(–2, –2) и F 2(2, 2) равна 4.
3.2. Составьте параметрические уравнения окружности x 2 + y 2 – 2 x = 0, приняв за параметр угол между осью Ox и прямой, проходящей через центр окружности.
3.3. Опишите с помощью уравнения в полярных координатах множество точек, лежащих на прямой, перпендикулярной полярной оси и проходящей через точку А (5, 0).
3.4. Уравнения кривых заданы в полярных координатах. Найдите их уравнения в соответствующих прямоугольных координатах:
1) ρ 2 = sin φ; 2) ρ = cos φ + sin φ;
3) ρ 2cos φ sin φ = 1; 4) ρ 2 – 2 ρ cos φ – 3 = 0.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Прямая на плоскости
1. Положение прямой L на плоскости относительно прямоугольной системы координат xOy однозначно определено, если задан направляющий вектор 
и радиус-вектор 
некоторой фиксированной точки 
В этом случае радиус-вектор 
произвольной точки 
задается формулой
(15)
где 
Уравнение (15) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.
2. Если 
координаты точки 
, которая лежит на прямой 
, 
координаты направляющего вектора, то прямая задается параметрическими уравнениями
3. Если 
направляющий вектор, такой, что 
, и 
точка, через которую проходит прямая, то верно каноническое уравнение:
(16)
4. Если L не параллельна Ox, то для всех направляющих векторов отношение 
По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке 
уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:
y – y 0 = k (x – x 0).
В случае, если M 0(0, b) – точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано так:
y = kx + b.
5. Координаты направляющего вектора 
прямой L могут быть найдены, если известны две точки M 0(x 0, y 0) и M 1(x 1, y 1) этой прямой: 
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
(17)
6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M 0(a, 0) и M 1(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:
7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан нормальный вектор 
этой прямой и точка 
Условие перпендикулярности векторов 
позволяет перейти к векторному уравнению
и затем к его координатной форме:
A (x – x 0) + + B (y – y 0) = 0 или
Ax + By + C = 0, (18)
где C = – Ax 0 – By 0.
Уравнение (18) называется общим уравнением прямой L.
8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор 
направленный из начала координат в сторону прямой, т.е.
то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:
x cos α + y cos β – p = 0,
где p > 0 – расстояние от начала координат до прямой.
Величина δ (M 0, L) = x 0cos α + y 0cos β – p, где 
называется отклонением точки М 0 от прямой L. При этом δ < 0, если M 0 и O (0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ > 0 – если по разные. Расстояние d (M 0, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.
От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель
Расстояние от точки M 0(x 0, y 0) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле:
(19)
Угол между прямыми может быть найден с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле:
где k 1 и k 2 – угловые коэффициенты прямых.
При этом возможны частные случаи:
Здесь L 1 и L 2 – прямые на плоскости, для которых 
– угловые коэффициенты соответственно прямых 
и 
.
В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид
ρ cos(φ – φ 0) = p,
где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ 0 – угол между полярной осью и перпендикуляром.
Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A (1, 2), B (–1, –3), C (2, –1). Найти:
1) уравнение прямой BC;
2) уравнение высоты AH и ее длину;
3) уравнение медианы BM;
4) угол между прямыми BM и AH;
5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине А.
Решение. 1. Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (17). Так как B (–1, –3), C (2, –1), имеем:
Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:
2(x + 1) = 3(y + 3) или 2 x – 3 y – 7 = 0.
Таким образом, окончательно получаем:
2 x – 3 y – 7 = 0.
2. Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является 
=(2; –3), т.е. 
ВС. Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой АН. Значит, каноническое уравнение прямой AH, согласно (16), имеет вид:
(20)
где А (1, 2) 
АН.
Чтобы найти длину высоты 
АВС, опущенную из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (19):
3. Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:
Получаем M (3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B (–1, –3) и M (3/2, 1/2), используя формулу (17):
.
Если приводить его к общему уравнению, получим
7 x – 5 y – 8 = 0.
4. Угол φ между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами
Получаем 
.
5. Пусть точка M (x, y) лежит на биссектрисе AB. Тогда по свойству биссектрисы d (M, AB) = d (M, AC). Запишем уравнения прямым. Получаем
Получаем
.
Аналогично,
т.е. 
.
Используем формулу расстояния (19):
Значит,
.
По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем
.
Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):
Пример 2. Даны две точки A (–3, 8) и B (2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.
Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьшее расстояние между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB ¢ (рис. 11) с осью Ox, где B ¢ – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой A ¢ B с осью Ox, где A ¢ – точка, симметричная А относительно Ox).
Рис. 11
Точки B ¢(2, –2) и A (–3, 8) определяют прямую A B ¢:
, т.е. 
или 
.
Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений: 
Решаем ее:
Итак, точка М (1, 0) является искомой.
