Задания для самостоятельного решения. 1.1. Найдите полярные координаты точек A(1, 1), B C(–2, 2), D(0, 1), E(–3, 0), F(2, 0), G(0, –1), H(1

 

I уровень

1.1. Найдите полярные координаты точек A (1, 1), B C (–2, 2), D (0, 1), E (–3, 0), F (2, 0), G (0, –1), H (1, )

1.2. Зная полярные координаты точек найдите их прямоугольные координаты.

1.3. Уравнение линии на плоскости задано в прямоугольных координатах. Найдите их соответствующее уравнение в полярных координатах (полюс совпадает с началом прямоугольной системы координат, полярная ось – с осью абсцисс):

1) ρ = 2; 2) ; 3) ρ = 2sin φ.

1.4. Найдите уравнение линии в прямоугольной системе координат, если известны параметрические уравнения (исключить параметр):

1) 2) 3)

 

II уровень

2.1. Найдите полярные координаты точек, симметричных им относительно полярной оси

.

2.2. Даны полярные координаты точек и . Вычислите полярные координаты середины отрезка АВ.

2.3. Определите, какую кривую на плоскости образуют точки, для которых расстояние от точки А (4, 0) вдвое больше расстояния от точки В (1, 0).

2.4. Найдите полярные уравнения фигур, если известны их уравнения в прямоугольной системе координат xOy:

1) 2)

3)

 

III уровень

3.1. Найдите уравнение кривой, состоящей из тех точек плоскости, разность расстояний от которых до точек F ₁(–2, –2) и F ₂(2, 2) равна 4.

3.2. Составьте параметрические уравнения окружности x ² + y ² – 2 x = 0, приняв за параметр угол между осью Ox и прямой, проходящей через центр окружности.

3.3. Опишите с помощью уравнения в полярных координатах множество точек, лежащих на прямой, перпендикулярной полярной оси и проходящей через точку А (5, 0).

3.4. Уравнения кривых заданы в полярных координатах. Найдите их уравнения в соответствующих прямоугольных координатах:

1) ρ ² = sin φ; 2) ρ = cos φ + sin φ;

3) ρ ²cos φ sin φ = 1; 4) ρ ² – 2 ρ cos φ – 3 = 0.

 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая на плоскости

 

1. Положение прямой L на плоскости относительно прямоугольной системы координат xOy однозначно определено, если задан направляющий вектор и радиус-вектор некоторой фиксированной точки В этом случае радиус-вектор произвольной точки задается формулой

(15)

где

Уравнение (15) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.

 

2. Если координаты точки , которая лежит на прямой , координаты направляющего вектора, то прямая задается параметрическими уравнениями

 

3. Если направляющий вектор, такой, что , и точка, через которую проходит прямая, то верно каноническое уравнение:

(16)

4. Если L не параллельна Ox, то для всех направляющих векторов отношение По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:

y – y ₀ = k (x – x ₀).

В случае, если M ₀(0, b) – точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано так:

y = kx + b.

 

5. Координаты направляющего вектора прямой L могут быть найдены, если известны две точки M ₀(x ₀, y ₀) и M ₁(x ₁, y ₁) этой прямой: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(17)

 

6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M ₀(a, 0) и M ₁(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:

 

7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан нормальный вектор этой прямой и точка Условие перпендикулярности векторов позволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его координатной форме:

A (x – x ₀) + + B (y – y ₀) = 0 или

Ax + By + C = 0, (18)

где C = – Ax ₀ – By ₀.

Уравнение (18) называется общим уравнением прямой L.

 

8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор направленный из начала координат в сторону прямой, т.е.

то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:

x cos α + y cos β – p = 0,

где p > 0 – расстояние от начала координат до прямой.

Величина δ (M ₀, L) = x ₀cos α + y ₀cos β – p, где называется отклонением точки М ₀ от прямой L. При этом δ < 0, если M ₀ и O (0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ > 0 – если по разные. Расстояние d (M ₀, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.

От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель

 

Расстояние от точки M ₀(x ₀, y ₀) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле:

(19)

 

Угол между прямыми может быть найден с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле:

где k ₁ и k ₂ – угловые коэффициенты прямых.

 

При этом возможны частные случаи:

Здесь L ₁ и L ₂ – прямые на плоскости, для которых – угловые коэффициенты соответственно прямых и .

 

В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид

ρ cos(φ – φ ₀) = p,

где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ ₀ – угол между полярной осью и перпендикуляром.

Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A (1, 2), B (–1, –3), C (2, –1). Найти:

1) уравнение прямой BC;

2) уравнение высоты AH и ее длину;

3) уравнение медианы BM;

4) угол между прямыми BM и AH;

5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине А.

Решение. 1. Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (17). Так как B (–1, –3), C (2, –1), имеем:

Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:

2(x + 1) = 3(y + 3) или 2 x – 3 y – 7 = 0.

Таким образом, окончательно получаем:

2 x – 3 y – 7 = 0.

 

2. Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является =(2; –3), т.е. ВС. Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой АН. Значит, каноническое уравнение прямой AH, согласно (16), имеет вид:

(20)

где А (1, 2) АН.

Чтобы найти длину высоты АВС, опущенную из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (19):

 

3. Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:

Получаем M (3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B (–1, –3) и M (3/2, 1/2), используя формулу (17):

.

Если приводить его к общему уравнению, получим

7 x – 5 y – 8 = 0.

 

4. Угол φ между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами

Получаем .

 

5. Пусть точка M (x, y) лежит на биссектрисе AB. Тогда по свойству биссектрисы d (M, AB) = d (M, AC). Запишем уравнения прямым. Получаем

Получаем

.

Аналогично,

т.е. .

Используем формулу расстояния (19):

Значит,

.

По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем

.

Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):

Пример 2. Даны две точки A (–3, 8) и B (2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.

Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьшее расстояние между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB ¢ (рис. 11) с осью Ox, где B ¢ – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой A ¢ B с осью Ox, где A ¢ – точка, симметричная А относительно Ox).

 

 

 

Рис. 11

 

Точки B ¢(2, –2) и A (–3, 8) определяют прямую A B ¢:

, т.е. или .

Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений:

Решаем ее:

Итак, точка М (1, 0) является искомой.