Задания для самостоятельного решения. Найдите координаты вектора:

I уровень

1.1. Даны векторы

Найдите координаты вектора:

1) 2)

3) 4)

1.2. Даны векторы Определите, при каком значении векторы и коллинеарны.

1.3. Вектор образует с ортом угол α. Вычислите координаты вектора на плоскости, если:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

1.4. Заданы векторы Вычислите:

1) ;

2) орты векторов

3)

4) координаты вектора .

1.5. Вычислите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

1) 2)

1.6. Найдите угол между векторами:

1) 2)

 

 

1.7. Вычислите работу, производимую силой при перемещении ее точки приложения из начала в конец вектора

 

II уровень

2.1. Известно, что A (2, –7), B (4, 1). Найдите:

1) координаты вектора 2) ;

3) орт вектора

2.2. Даны векторы Определите, при каком значении коэффициента k векторы коллинеарны:

1) и

2) и

3) и .

2.3. Известно, что вектор является суммой векторов Найдите m и n.

2.4. Отрезок с концами в точках А (3, –2) и В (6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.

2.5. Вычислите скалярное произведение векторов и если:

1)

2) .

 

III уровень

3.1. Сила разложена по двум перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором Найдите направляющую силы в направлении этого вектора.

3.2. Подберите ненулевые числа α, β, γ так, чтобы где

3.3. Даны три вершины А (3, –4), В (–5, 3) и С (1, 2) параллелограмма ABCD. Найдите его четвертую вершину D.

3.4. Даны вершины треугольника А (3, –1), В (4, 2) и С (–4, 0). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А.

3.5. Даны вершины А (1, –1), В (2, 1), С (–5, 2) треугольника АВС. Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

3.6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (3, –2), В (3, 1), С (4, 0). Вычислите расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

3.7. В вершинах треугольника А (1, –1), В (0, 4) и С (2, –1) сосредоточены массы соответственно 1, 2, 3. Найдите координаты центра масс этой системы. (Указание: для пары масс m ₁ и m ₂, сосредоточенных в точках А и В, центр находится в точке, делящей отрезок АВ в отношении где l₁ и l₂ – расстояния от точек с соответствующими массами до их центра).

3.8. Даны векторы Найдите вектор лежащий с векторами и в одной плоскости, перпендикулярный вектору равный ему по длине и образующий с вектором тупой угол.

3.9. Представьте ненулевой вектор в виде линейной комбинации векторов и

 

 

Полярная система координат. Способы задания

Кривой на плоскости

 

Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.

Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: (ρ – полярный радиус, φ – полярный угол). Принято считать, что или а полюс имеет нулевые полярные координаты.

Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:

(13)

(14)

Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ (φ) или Ф (ρ, φ) = 0.

Пример 1. Найти полярные координаты точек

Решение. Точка лежит в 1-й четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π /2, причем согласно первой формуле системы (14) Следовательно, что приводит к . Итак, .

Точка B является внутренней точкой 3-й четверти прямоугольной системы координат, следовательно, (или ). Найдем полярный радиус (используем (14)):

Тогда Значит, или . Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B или .

Рассмотрим точку . Учитывая, что , а значит, , определяем, что точка С лежит во 2-й четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно (14), есть

Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем , затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tgx равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению , получим

Значит, .

З а м е ч а н и е. При использовании формулы при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 9).

 

 

Рис. 9

Пример 2. Зная полярные координаты точек , B , , найти их прямоугольные координаты.

Решение. Используя формулы (13), находим прямоугольные координаты заданных точек.

Значит,

Значит, B (–1, 1).

Значит,

Пример 3. Зная полярные координаты точки ρ = 10, , найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А (2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox.

Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 10). Тогда точка в этой системе координат определена, как М (x_M, y_M).

 

Рис.10

Очевидно, что

Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как

Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x ² + y ² = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором где О – центр окружности, М – ее точка.

Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты , Тогда, по определению тригонометрических функций, где . Таким образом, получили параметрические уравнения окружности.

Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат:

1) ρ = 4; 2) ; 3) ρ = 2cos φ.

Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (14).

 

1. Поскольку . Возводим в квадрат и получаем – уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4.

2. Уравнение означает, что , причем точка с координатами (x, y) лежит в 1-й четверти. Значит, или . Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0).

3. Заданное уравнение запишем в виде . Получили . Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению , которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.