I уровень
1.1. Даны векторы 
Найдите координаты вектора:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Даны векторы 
Определите, при каком значении 
векторы 
и 
коллинеарны.
1.3. Вектор 
образует с ортом 
угол α. Вычислите координаты вектора на плоскости, если:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
1.4. Заданы векторы 
Вычислите:
1) 
;
2) орты векторов 
3) 
4) координаты вектора 
.
1.5. Вычислите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:
1) 
2) 
1.6. Найдите угол между векторами:
1) 
2) 
1.7. Вычислите работу, производимую силой 
при перемещении ее точки приложения из начала в конец вектора 
II уровень
2.1. Известно, что A (2, –7), B (4, 1). Найдите:
1) координаты вектора 
2) 
;
3) орт вектора 
2.2. Даны векторы 
Определите, при каком значении коэффициента k векторы коллинеарны:
1) 
и 
2) 
и 
3) 
и 
.
2.3. Известно, что вектор 
является суммой векторов 
Найдите m и n.
2.4. Отрезок с концами в точках А (3, –2) и В (6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
2.5. Вычислите скалярное произведение векторов и 
если:
1) 
2) 
.
III уровень
3.1. Сила 
разложена по двум перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором 
Найдите направляющую силы в направлении этого вектора.
3.2. Подберите ненулевые числа α, β, γ так, чтобы 
где 
3.3. Даны три вершины А (3, –4), В (–5, 3) и С (1, 2) параллелограмма ABCD. Найдите его четвертую вершину D.
3.4. Даны вершины треугольника А (3, –1), В (4, 2) и С (–4, 0). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А.
3.5. Даны вершины А (1, –1), В (2, 1), С (–5, 2) треугольника АВС. Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
3.6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (3, –2), В (3, 1), С (4, 0). Вычислите расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
3.7. В вершинах треугольника А (1, –1), В (0, 4) и С (2, –1) сосредоточены массы соответственно 1, 2, 3. Найдите координаты центра масс этой системы. (Указание: для пары масс m 1 и m 2, сосредоточенных в точках А и В, центр находится в точке, делящей отрезок АВ в отношении 
где l1 и l2 – расстояния от точек с соответствующими массами до их центра).
3.8. Даны векторы 
Найдите вектор 
лежащий с векторами и в одной плоскости, перпендикулярный вектору 
равный ему по длине и образующий с вектором тупой угол.
3.9. Представьте ненулевой вектор 
в виде линейной комбинации векторов 
и 
Полярная система координат. Способы задания
Кривой на плоскости
Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.
Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: (ρ – полярный радиус, φ – полярный угол). Принято считать, что 
или 
а полюс имеет нулевые полярные координаты.
Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:
(13)
(14)
Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ (φ) или Ф (ρ, φ) = 0.
Пример 1. Найти полярные координаты точек 
Решение. Точка 
лежит в 1-й четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π /2, причем согласно первой формуле системы (14) 
Следовательно, 
что приводит к 
. Итак, 
.
Точка B 
является внутренней точкой 3-й четверти прямоугольной системы координат, следовательно, 
(или 
). Найдем полярный радиус (используем (14)):
Тогда 
Значит, 
или 
. Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B 
или 
.
Рассмотрим точку 
. Учитывая, что 
, а значит, 
, определяем, что точка С лежит во 2-й четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно (14), есть
Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем 
, затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tgx равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению 
, получим
Значит, 
.
З а м е ч а н и е. При использовании формулы 
при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 9).
Рис. 9
Пример 2. Зная полярные координаты точек 
, B 
, 
, найти их прямоугольные координаты.
Решение. Используя формулы (13), находим прямоугольные координаты заданных точек.
Значит, 
Значит, B (–1, 1).
Значит, 
Пример 3. Зная полярные координаты точки ρ = 10, , найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А (2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 10). Тогда точка 
в этой системе координат определена, как М (xM, yM).
 |
Рис.10
Очевидно, что
Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как 
Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x 2 + y 2 = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором 
где О – центр окружности, М – ее точка.
Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты 
, 
Тогда, по определению тригонометрических функций, 
где 
. Таким образом, получили параметрические уравнения окружности.
Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат:
1) ρ = 4; 2) ; 3) ρ = 2cos φ.
Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (14).
1. Поскольку 
. Возводим в квадрат и получаем 
– уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4.
2. Уравнение означает, что 
, причем точка с координатами (x, y) лежит в 1-й четверти. Значит, 
или 
. Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0).
3. Заданное уравнение 
запишем в виде 
. Получили 
. Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению 
, которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.
