Задания для домашней работы

Задание 5.2. Исследуется регрессионная модель влияния численности населения (Хt) на ВВП (Yt) на основе временных рядов

LnY_t = β₀+β₁lnX_t+e.

Однако временные ряды для ВВП и численности населения, как правило, имеют тенденцию к росту. Как это повлияет на статистические выводы для регрессионной модели?

Задание 5.3. Н основе данных об объеме продаж фирмы проанализировать имеющиеся данные, выбрать модель для расчета прогноза, обосновать выбор модели, построить прогноз объема продаж на декабрь.

Месяц
Объем продаж

Задание 5.4. Имеются поквартальные данные об объеме продаж товара за три года:

Период времени

1 год

2 год

3 год

Объем продаж

5,5

9,5

Используя мультипликативную модель построить прогноз объема продаж на 1,2 и 3 кварталы следующего года. Обосновать выбор модели.

Практическое занятие 6

Тема занятия: Многомерные ARMA и ARIMA модели

Занятие проводится в форме кресельного кейс-метода. Условие задачи содержит реальный практический смысл. Поэтому преподаватель предлагает выполнить комплекс эконометрических расчетов, идентифицировать и верифицировать результаты с целью их экономической интерпретации. На первом этапе преподаватель объявляет группы из двух-трех магистрантов для совместного выполнения практического задания. Роль преподавателя на данном этапе заключается в постоянном поддержании активного внутригруппового взаимодействия, снятии напряженности во взаимоотношениях между участниками, оперативном вмешательстве в случае возникновения непредвиденных трудностей, а также в целях пояснения новых положений учебной программы. На втором этапе преподаватель назначает лидера для руководства ходом обсуждения результатов выполнения задания. Лидер, применяя уникальное сочетание компьютерных и традиционных методов организации учебной деятельности демонстрирует основные формулы, используемые в решении задания. Совместно с преподавателем лидер руководит групповым обсуждением области применения формул, полученных эконометрических оценок и их качества, экономической интерпретацией результатов. Преподаватель побуждает магистрантов к обоснованию в аудитории полученных результатов, конструктивной критике и поддержке выводов одногруппников с целью формирования навыков изучения реальных социально-экономических явлений и процессов, проблемных ситуаций, высказывания и отстаивания собственной точки зрения, концентрируя внимание на следующих вопросах:

1. Стационарные и нестационарные дискретные случайные процессы.

2. Тестирование временного ряда на стационарность.

3. Информационные критерии для качества подгонки моделей.

В конце занятия преподаватель подводит итоги и оценивает каждого студента в зависимости от его участия в выполнении заданий и обсуждении

Расчетные формулы

Модель скользящей средней в качестве объясняющих переменных содержит комбинацию белых шумов, то есть ряд Y_t описывается процессом МА (τ):

где u_t – «белый шум».

Авторегрессионная модель порядка τ-AR(τ) имеет следующий вид:

,

где u_t – «белый шум».

Процесс МА (τ) всегда стационарен. Процесс AR(τ) либо стационарен и может быть представлен в виде скользящего среднего, либо не стационарен.

Модель ARMA (p,q) выглядит следующим образом:

Выбор параметров p и q модели ARMA определяется как этап идентификации процесса путем сравнения функции автокорреляции ACF и частной автокорреляции PACF. Для любого стационарного авторегрессионного процесса автокорреляционная функция (ACF) будет уменьшаться по экспоненте. Частная автокорреляционная функция τ_kk (PACF) определяет корреляцию между текущим и произошедшим k периодов назад наблюдением после удаления косвенного влияния других наблюдений и определяет порядок авторегрессионного процесса. Важнейшие свойства этих функций представлены в таблице 6.1

Таблица 6.1.

Свойства теоретических функций ACF и PACF процесса ARMA

Процесс	Функция автокорреляции ACF	Функция частной автокорреляции PACF
AR(p)	Бесконечная, убывающая (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)	Конечная, обрывается после p периодов (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)
MA(q)	Конечная, обрывается после q периодов	Бесконечная, убывающая (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)
ARMA (p,q)	Бесконечная, убывающая (после первых p-q периодов убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)	Бесконечная, убывающая (после первых p-q периодов убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)

Кроме анализа графиков ACF и PACF для идентификации модели ARMA можно использовать информационные критерии Акайке, Шварца, Ханнан-Куина. Цель - получить модель с минимальными значениями информационных критериев.

Критерий Акайке:

или

Критерий Шварца:

или

Критерий Хеннана-Куина:

, или

где - остаточная дисперсия; k=p+q+1 – число оцениваемых параметров; T – размер выборки. Этот критерий недооценивает порядок модели при небольших объемах выборки.

Проверка адекватности выбранной модели основана на исследовании остатков на стационарность – наличие «белого шума», с помощью Q-статистики Бокса-Льюинга:

Нулевая гипотеза о независимости и одинаковой распределенности остатков (адекватности модели) отвергается, если Q>χ²кр (α,M-p).

Для описания нестационарных однородных временных рядов применяется модель Бокса-Дженкинса (ARIMA –модель): (Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA (p,s,q)). Символ I (Integrated) отвечает за порядок оператора последовательной разности.

Для измерения качества подгонки модели Бокса-Дженкинса можно использовать следующие информационные критерии:

1. Критерий Акайка (Akaike information criterion, AIC):

 

2. Критерий Шварца (Swarz criterion):

Выбор следует сделать в пользу модели с меньшим значением AIC, SIK.