Задание 5.2. Исследуется регрессионная модель влияния численности населения (Хt) на ВВП (Yt) на основе временных рядов
LnYt = β0+β1lnXt+e.
Однако временные ряды для ВВП и численности населения, как правило, имеют тенденцию к росту. Как это повлияет на статистические выводы для регрессионной модели?
Задание 5.3. Н основе данных об объеме продаж фирмы проанализировать имеющиеся данные, выбрать модель для расчета прогноза, обосновать выбор модели, построить прогноз объема продаж на декабрь.
| Месяц | ||||||||||
| Объем продаж |
Задание 5.4. Имеются поквартальные данные об объеме продаж товара за три года:
| Период времени | 1 год | 2 год | 3 год | |||||||||
| Объем продаж | 5,5 | 9,5 |
Используя мультипликативную модель построить прогноз объема продаж на 1,2 и 3 кварталы следующего года. Обосновать выбор модели.
Практическое занятие 6
Тема занятия: Многомерные ARMA и ARIMA модели
Занятие проводится в форме кресельного кейс-метода. Условие задачи содержит реальный практический смысл. Поэтому преподаватель предлагает выполнить комплекс эконометрических расчетов, идентифицировать и верифицировать результаты с целью их экономической интерпретации. На первом этапе преподаватель объявляет группы из двух-трех магистрантов для совместного выполнения практического задания. Роль преподавателя на данном этапе заключается в постоянном поддержании активного внутригруппового взаимодействия, снятии напряженности во взаимоотношениях между участниками, оперативном вмешательстве в случае возникновения непредвиденных трудностей, а также в целях пояснения новых положений учебной программы. На втором этапе преподаватель назначает лидера для руководства ходом обсуждения результатов выполнения задания. Лидер, применяя уникальное сочетание компьютерных и традиционных методов организации учебной деятельности демонстрирует основные формулы, используемые в решении задания. Совместно с преподавателем лидер руководит групповым обсуждением области применения формул, полученных эконометрических оценок и их качества, экономической интерпретацией результатов. Преподаватель побуждает магистрантов к обоснованию в аудитории полученных результатов, конструктивной критике и поддержке выводов одногруппников с целью формирования навыков изучения реальных социально-экономических явлений и процессов, проблемных ситуаций, высказывания и отстаивания собственной точки зрения, концентрируя внимание на следующих вопросах:
1. Стационарные и нестационарные дискретные случайные процессы.
2. Тестирование временного ряда на стационарность.
3. Информационные критерии для качества подгонки моделей.
В конце занятия преподаватель подводит итоги и оценивает каждого студента в зависимости от его участия в выполнении заданий и обсуждении
Расчетные формулы
Модель скользящей средней в качестве объясняющих переменных содержит комбинацию белых шумов, то есть ряд Yt описывается процессом МА (τ):
где ut – «белый шум».
Авторегрессионная модель порядка τ-AR(τ) имеет следующий вид:
,
где ut – «белый шум».
Процесс МА (τ) всегда стационарен. Процесс AR(τ) либо стационарен и может быть представлен в виде скользящего среднего, либо не стационарен.
Модель ARMA (p,q) выглядит следующим образом:
Выбор параметров p и q модели ARMA определяется как этап идентификации процесса путем сравнения функции автокорреляции ACF и частной автокорреляции PACF. Для любого стационарного авторегрессионного процесса автокорреляционная функция (ACF) будет уменьшаться по экспоненте. Частная автокорреляционная функция τkk (PACF) определяет корреляцию между текущим и произошедшим k периодов назад наблюдением после удаления косвенного влияния других наблюдений и определяет порядок авторегрессионного процесса. Важнейшие свойства этих функций представлены в таблице 6.1
Таблица 6.1.
Свойства теоретических функций ACF и PACF процесса ARMA
| Процесс | Функция автокорреляции ACF | Функция частной автокорреляции PACF |
| AR(p) | Бесконечная, убывающая (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями) | Конечная, обрывается после p периодов (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями) |
| MA(q) | Конечная, обрывается после q периодов | Бесконечная, убывающая (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями) |
| ARMA (p,q) | Бесконечная, убывающая (после первых p-q периодов убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями) | Бесконечная, убывающая (после первых p-q периодов убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями) |
Кроме анализа графиков ACF и PACF для идентификации модели ARMA можно использовать информационные критерии Акайке, Шварца, Ханнан-Куина. Цель - получить модель с минимальными значениями информационных критериев.
Критерий Акайке:
или 
Критерий Шварца:
или 
Критерий Хеннана-Куина:
, или 
где 
- остаточная дисперсия; k=p+q+1 – число оцениваемых параметров; T – размер выборки. Этот критерий недооценивает порядок модели при небольших объемах выборки.
Проверка адекватности выбранной модели основана на исследовании остатков на стационарность – наличие «белого шума», с помощью Q-статистики Бокса-Льюинга:
Нулевая гипотеза о независимости и одинаковой распределенности остатков (адекватности модели) отвергается, если Q>χ2кр (α,M-p).
Для описания нестационарных однородных временных рядов применяется модель Бокса-Дженкинса (ARIMA –модель): (Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA (p,s,q)). Символ I (Integrated) отвечает за порядок оператора последовательной разности.
Для измерения качества подгонки модели Бокса-Дженкинса можно использовать следующие информационные критерии:
1. Критерий Акайка (Akaike information criterion, AIC):
2. Критерий Шварца (Swarz criterion):
Выбор следует сделать в пользу модели с меньшим значением AIC, SIK.
