1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;1,3) перпендикулярно вектору 
.
Решение:
Найдем координаты вектора : О(0;0;0); М(-1;1;3) Þ
{-1;1;3}.
Уравнение плоскости имеет вид:
A (x-x 0 )+ B (y-y 0 )+ C (z-z 0 ) =0
А=-1, В=1, С=3 – координаты вектора нормали.
X 0=-1, y 0=1, z 0=3.
-1(х +1)+1(у -1)+3(z -3)=0
- х -1+ у -1+3 z -9=0
- х+у+ 3 z -11=0.
Ответ: - х+у+ 3 z -11=0.
2.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1;-1;3), М2(2;-1;0), М3(4;2;-1).
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид:
,
,
9(х -1)-5(у +1)+3(z -3)=0
9 х- 9-5 у -5+3 z -9=0
9 х -5 у +3 z -23=0.
Ответ: 9 х -5 у +3 z -23=0.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;7;3) параллельно плоскости х -4 у +5 z +1=0 (рис.10).
 {1;-4;5}
|
| М0(-2;7;3) |
| Рис. 10 |
Решение:
Нормальный вектор для плоскости х -4 у +5 z +1=0 
{1;-4;5} является нормальным для искомой плоскости. Так как плоскость проходит через точку М0(-2;7;3), то уравнение плоскости имеет вид:
A (x-x 0 )+ B (y-y 0 )+ C (z-z 0 ) =0;
1(х +2)-4(у -7)+5(z -3)=0;
х+ 2-4 у +28+5 z -15=0;
х -4 у+ 5 z +15=0.
Ответ: х- 4 у+ 5 z +15=0.
4. Найти расстояние от точки М0(1;-1;3) до плоскости 13 х +2 у - -5 z +1=0.
; х 0=1; у 0=-1; z 0=3.
А=13; В=2; С=-5, D=1.
.
Ответ: d = 
.
5. Найти угол между плоскостями х+у -1=0 и 2 х-у +3 z -1=0.
Решение:
Угол между плоскостями определяем как угол между нормалями к этим плоскостям. Из общих уравнений плоскостей определяем координаты нормалей 
{1;1;0}, 
{2;-1;3}.
.
.
Ответ: 
.
Прямая в пространстве.
Прямая и плоскость
Различным способам задания прямой в пространстве соответствуют разные виды ее уравнений, основные из которых представлены в табл. 4.
Таблица 4
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
Канонические уравнения прямой
| (x 0, y 0, z 0) – координаты точки М0, лежащей на прямой; m,n,p – координаты вектора, параллельного прямой | Вектор  называется направля-ющим вектором прямой
| |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
| (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2) – координаты двух заданных точек | Уравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости | |
Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей
|  - уравнение одной плоскости;
 - уравнение второй плоскости
| Уравнения иначе назы-ваются общими уравне-ниями прямой в простран-стве |
Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:
l 1: 
l 2: 
.
Угол между прямыми определяется как 
.
Условие перпендикулярности прямых:
=0.
Условие параллельности прямых:
.
Пусть плоскость a задана уравнением А х +В у +С z +D=0, а прямая l – своими каноническими уравнениями , тогда угол между прямой и плоскостью определяется как
.
Условие параллельности прямой и плоскости А m +B n +C p =0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
