1. Найти длину вектора 
, если А(1;2;3); В(2;-5;4).
Решение:
Найдем координаты вектора : {2-1;-5-2;4-3}; АВ{1;-7;1}.
Найдем длину вектора :
.
Ответ: 
.
2. Найти длину радиус-вектора точки А(2;3;-1).
Решение:
Координаты радиус-вектора точки А совпадают с координатами самой точки: 
{2;3;-1}.
Найдем длину радиус-вектора :
.
Ответ: 
.
3. Найти длину вектора 
, если 
{1;-1;0}, 
{3;-1;4}.
Решение:
Найдем координаты вектора 
: {1+3∙3;-1+3(-1);0+3∙4}; {10;-4;12}.
Найдем длину вектора :
.
Ответ: = 
.
4. Найти направляющие косинусы вектора , если А(1;-1;3), В(2;-3;4).
Решение:
Найдем координаты вектора : {2-1;-3-(-1);4-3}, {1;-2;1}.
Найдем длину вектора :
.
Итак, 
; 
; 
.
Проверка: 
.
Ответ: 
; 
; 
.
Скалярное произведение двух векторов
| Свойства |
| Определение |
| Применение |
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:  =| || 
|
| 
|
= 
|
k ()=
= (k  =
=  )
|
|
|
|
|
|
Работа силы F на перемещение S А= 
|
Вычисление в прямоугольных координатах: если
, то
 .
|
Скалярное произведение ортов
 =0
 =1
|
Примеры решения типовых задач
1. Даны векторы =3 
и 
. Найти: а) ;
б) 
; в) 
.
Решение:
а) =3∙2+(-1)3+2(-1)=6-3-2=1;
б) 
;
в) 
.
Ответ: а) 1; б) 
; в) 
.
2. Даны векторы {3;-1;4}, {-2;2;2}. Проверить, являются ли они ортогональными.
Решение:
=3∙(-2)+(-1)2+4∙2=-6-2+8=0. Следовательно, векторы 
ортогональны.
3. Вычислить работу силы 
={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).
Решение:
А = 
. Найдем координаты вектора 
= 
:
{4-2;2-4;7-6};
={2;-2;1}.
Найдем работу А:
А=3∙2+2(-2)+4∙1=6-4+4=6.
Ответ: 6.
4. Найти длины диагоналей параллелограмма (рис.1), построенного на векторах 
, где 
=60˚.
|
|
|
| Рис.1 |
Решение:
Выразим диагонали параллелограмма 
и 
по правилу
параллелограмма: 
,
.
Так как векторы 
не единичные, следовательно, заданы в произвольном базисе, то 
и 
можно найти по определению:
=
= 
.
=
= 
.
Ответ: = 
.
A. Векторное произведение двух векторов
| Свойства |
| Определение |
| Применение |
Площадь треугольника
S= 
|
Векторным произведением двух векторов называется вектор  , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и  и направлен так, что кратчай-ший поворот от к видится против часовой стрелки
|
 = 
|
Вычисление
|
Условие коллинеарности
|
Момент силы  , в точке А относительно точки О: 
|
 )=
= k( )
|
|
Примеры решения типовых задач
1. Раскрыть скобки и упростить выражение:
а) 
;
б) (2 
.
Решение:
а) 
+ 
=2 
б) (2 =2 
.
2. Даны векторы 
и 
. Найти 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
3. Найти площадь ∆АВС, если А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).
Решение:
S∆АВС= 
. Найдем координаты векторов 
:
{3-1;0-2;-3-0}={2;-2;-3};
{5-1;2-2;6-0}={4;0;6}.
Найдем векторное произведение :
= 
.
.
S∆АВС= 
.
Ответ: .
4. Сила 
приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее
момент относительно начала координат.
Решение:
. Найдем координаты вектора 
: О(0;0;0), М(2;-1;1), следовательно, {2;-1;1}.
= 
= 
.
Ответ: 
.
Смешанное произведение трех векторов
| Свойства |
| Определение |
| Применение |
 = 
|
Объем параллелепипеда
V= 
|
Смешанным произведением трех векторов называется произведение вида
( = 
|
 ,
 ,
то
|
Объем пирамиды
V= 
|
Условие компланарности трех векторов:
 =0
|
=  =
=  =  =  = 
|
|
|
