Кривые второго порядка на плоскости

 

Уравнение вида А х ²+2В ху +С у ²+2D х +2Е у +F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

Таблица 2

№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
	Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)	- каноническое уравнение эллипса	2 а – большая ось; 2 b – малая ось 2 с –межфокус-ное расстояние с2=а2-b2; - эксцентриси-тет, 0< e <1. Т. А1,А2,В1,В2 – вершины эллипса
	Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.5)	- каноническое уравнение гиперболы	2 а –действи-тельная ось; 2 b –мнимая ось; 2 с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2; - эксцентри-ситет, e >1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые - асимптоты
3.	Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой. Рис.6б 6б 31 х F х 2=2 py	у 2=2 px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ     x2 =2 pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б)	F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)   F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)

 

 

1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36 х ²+100 у ²=3600.

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

36 х ²+100 у ²=3600, поделим обе части уравнения на 3600:

, a ²=100, b ²=36.

F _л(-с,0) – левый фокус;

F _п(с,0) – правый фокус;

С= .

F _л(-8,0); F _п(8,0).

Эксцентриситет: .

Ответ: F _л(-8,0); F _п(8,0); =0,8.

2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16 х ²+25 у ²=400 и точку М₀(1;-3) (рис.7).

у

Решение:

-4

-5

М

х

М0

 

 

 

Рис. 7

 

Приведем уравнение 16 х ²+25 у ²=400 к каноническому виду.

, a ²=25, b ²=16.

Левая вершина эллипса (- а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М₀ и М:

.

Ответ: .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9 х ²-16 у ²=144 и параллельно прямой 3 х -2у+6=0 (рис.8).

Решение:

 

-3

-4

FП

х

у

Рис.8

 

Приведем уравнение 9 х ²-16 у ²=144 к каноническому виду , a ²=16, b ²=9.

Правый фокус гиперболы F _п(с,0);

С= .

Итак, F _п(5,0).

1-й способ.

Условие параллельности двух прямых: k ₁= k ₂.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k ₂ x + b ₂;

3 х -2 у +6=0;

2 у =3 х +6;

у= (3/2) х +3;

k ₁=3/2Þ k ₂=3/2.

Значит, y= (3/2) x + b ₂ проходит через точку F _п(5,0), то 0=(3/2)5+ b ₂Þ b ₂=-15/2. Итак, Û3 x -2 у -15=0.

2-й способ.

Искомая прямая проходит через точку F _л(5,0) параллельно прямой 3 х -2 у +6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х ₀)+В(у-у ₀)=0, 3(х -5)-2(у -0)=0, 3 х -2 у -15=0.

Ответ: 3 х -2 у -15=0.

4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4 х ²+20 у ²=80, перпендикулярно прямой 2 х - у +1=0 (рис.9).

М

-2

y

l

х

 

 

 

Рис. 9

 

 

Решение:

Приведем уравнение к каноническому виду 4 х ²+20 у ²=80,

, a ²=20, b ²=4.

Нижняя вершина имеет вид: М(0;- b)=М(0;-2).

1-й способ.

Условие перпендикулярности двух прямых: k ₁ k ₃=-1.

2 х - у +1=0

у =2 х +1Þ k ₁=2.

Пусть уравнение прямой имеет вид: y=k ₂ x + b ₂;

k ₂=-1: k ₁Þ k ₂=-1/2,

Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то .

Итак, Þ х +2 у +4=0.

2-й способ.

По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2 х - у +1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х ₀, у ₀) параллельно вектору , получим:

. У нас ; ;

- х =2 у +4, х +2 у +4=0.

Ответ: х +2 у +4=0.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.

Решение:

a ²=16, b ²=25.

Правый фокус эллипса имеет вид F _п(с,0);

С= .

Итак, F _п(3,0).

Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg 45˚=1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx + b;

k =1Þ y=x + b.

Так как прямая проходит через точку F _п(3,0), то 0=3+ b Þ b =-3.

Значит, y=x -3.

Ответ: y=x -3.

 

Плоскость в пространстве

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)

Таблица 3

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
	Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х 0)+В(у-у 0)+С(z-z 0)=0	(x 0, y 0, z 0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора	Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
	Общее уравнение плоскости А х +В у +С z +D=0	D=-A x 0-B y 0-C z 0, АВС – нормальный вектор плоскости;	Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными
№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
		х 0, y 0, z 0 – координаты данной точки	преобразованиями
	Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки	М1(х 1, y 1, z 1), М2(х 2, y 2, z 2), М3(х 3, y 3, z 3) – три точки, заданные своими координатами	Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
	Уравнение плоскости в отрезках на осях	а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат	аbc ≠0

 

Пусть даны две плоскости a₁ и a₂:

a₁: А₁ х +В₁ у +С₁ z +D₁=0,

a₂: А₂ х +В₂ у +С₂ z +D₂=0.

 

Угол между двумя плоскостями определяется как .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0, то есть =0.

Условие параллельности двух плоскостей:

или .

Расстояние от точки до плоскости:

,

где А х +В у +С z +D=0 – заданная плоскость; М(x ₀, y ₀, z ₀) – данная точка.