Уравнение вида А х 2+2В ху +С у 2+2D х +2Е у +F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.
Таблица 2
| № п/п | Определение кривой | Вид уравнения | Примечание | |||||
 Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)
|  - каноническое уравнение эллипса
| 2 а – большая ось;
2 b – малая ось
2 с –межфокус-ное расстояние с2=а2-b2;
 - эксцентриси-тет, 0< e <1.
Т. А1,А2,В1,В2 – вершины эллипса
| ||||||
Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.5)
|  - каноническое уравнение гиперболы
| 2 а –действи-тельная ось;
2 b –мнимая ось;
2 с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2;
- эксцентри-ситет, e >1.
Точки А1,А2 – вершины гиперболы.
Прямые 
- асимптоты
| ||||||
| 3. | Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой.
| у 2=2 px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x2 =2 pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б) | F  - фокус,
 ди-ректриса.
Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)
F  - фокус,
 ди-ректриса.
Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)
|
1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36 х 2+100 у 2=3600.
Решение:
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
36 х 2+100 у 2=3600, поделим обе части уравнения на 3600:
, a 2=100, b 2=36.
F л(-с,0) – левый фокус;
F п(с,0) – правый фокус;
С= 
.
F л(-8,0); F п(8,0).
Эксцентриситет: 
.
Ответ: F л(-8,0); F п(8,0); 
=0,8.
2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16 х 2+25 у 2=400 и точку М0(1;-3) (рис.7).
| у |
| -4 |
| -5 |
| М |
| х |
| М0 |
| Рис. 7 |
Приведем уравнение 16 х 2+25 у 2=400 к каноническому виду.
, a 2=25, b 2=16.
Левая вершина эллипса (- а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М:
.
Ответ: 
.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9 х 2-16 у 2=144 и параллельно прямой 3 х -2у+6=0 (рис.8).
Решение:
| -3 |
| -4 |
| FП |
|
| х |
| у |
| Рис.8 |
Приведем уравнение 9 х 2-16 у 2=144 к каноническому виду 
, a 2=16, b 2=9.
Правый фокус гиперболы F п(с,0);
С= 
.
Итак, F п(5,0).
1-й способ.
Условие параллельности двух прямых: k 1= k 2.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k 2 x + b 2;
3 х -2 у +6=0;
2 у =3 х +6;
у= (3/2) х +3;
k 1=3/2Þ k 2=3/2.
Значит, y= (3/2) x + b 2 проходит через точку F п(5,0), то 0=(3/2)5+ b 2Þ b 2=-15/2. Итак, 
Û3 x -2 у -15=0.
2-й способ.
Искомая прямая проходит через точку F л(5,0) параллельно прямой 3 х -2 у +6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали 
, который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х 0)+В(у-у 0)=0, 3(х -5)-2(у -0)=0, 3 х -2 у -15=0.
Ответ: 3 х -2 у -15=0.
4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4 х 2+20 у 2=80, перпендикулярно прямой 2 х - у +1=0 (рис.9).
| М |
|
| -2 |
| y |
|
| l |
| х |
|
| Рис. 9 |
Решение:
Приведем уравнение к каноническому виду 4 х 2+20 у 2=80,
, a 2=20, b 2=4.
Нижняя вершина имеет вид: М(0;- b)=М(0;-2).
1-й способ.
Условие перпендикулярности двух прямых: k 1 k 3=-1.
2 х - у +1=0
у =2 х +1Þ k 1=2.
Пусть уравнение прямой имеет вид: y=k 2 x + b 2;
k 2=-1: k 1Þ k 2=-1/2, 
Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то 
.
Итак, 
Þ х +2 у +4=0.
2-й способ.
По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2 х - у +1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали 
. Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М0(х 0, у 0) параллельно вектору 
, получим:
. У нас 
; 
;
- х =2 у +4, х +2 у +4=0.
Ответ: х +2 у +4=0.
5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса 
под углом 45˚ к оси Ох.
Решение:
a 2=16, b 2=25.
Правый фокус эллипса имеет вид F п(с,0);
С= 
.
Итак, F п(3,0).
Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg 45˚=1.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx + b;
k =1Þ y=x + b.
Так как прямая проходит через точку F п(3,0), то 0=3+ b Þ b =-3.
Значит, y=x -3.
Ответ: y=x -3.
Плоскость в пространстве
Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.
Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)
Таблица 3
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
| Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х 0)+В(у-у 0)+С(z-z 0)=0 | (x 0, y 0, z 0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора | Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости | |
| Общее уравнение плоскости А х +В у +С z +D=0 | D=-A x 0-B y 0-C z 0, АВС – нормальный вектор плоскости; | Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными | |
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
| х 0, y 0, z 0 – координаты данной точки | преобразованиями | ||
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
| М1(х 1, y 1, z 1), М2(х 2, y 2, z 2), М3(х 3, y 3, z 3) – три точки, заданные своими координатами | Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой | |
Уравнение плоскости в отрезках на осях
| а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат | аbc ≠0 |
Пусть даны две плоскости a1 и a2:
a1: А1 х +В1 у +С1 z +D1=0,
a2: А2 х +В2 у +С2 z +D2=0.
Угол между двумя плоскостями определяется как 
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
=0, то есть 
=0.
Условие параллельности двух плоскостей:
или 
.
Расстояние от точки до плоскости:
,
где А х +В у +С z +D=0 – заданная плоскость; М(x 0, y 0, z 0) – данная точка.
