Аксонометрические проекции. Способ аксонометрического проецирования.

Для наглядного изображе­ния расположенных в пространстве относительно выбранных плос­костей проекций точек, линий, плоскостей, многогранников и т.д. используются проекции, называемые аксонометрическими (от древнегреческого «аксон» – ось, «метрио» – измеряю) или аксонометрией. Их часто используют для наглядного изображения конструкций приборов, машин на чер­теже, особенно на начальных этапах конструирования.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется параллель­но на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксономет­рических проекций.

При параллельном проецировании, если направление про­ецирования перпендикулярно к аксонометрической плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоуголь­ной, если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют косоугольной. В прямоугольной аксонометрической проекции оси присоединенных прямоугольных координат располагают непараллельно плоскости аксонометрических проекций.

Применяемые в отечественной конструкторской докумен­тации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317-69.

Рассмотрим образование аксонометрической проекции на при­мере изображения параллелепипеда с квадратным основанием (рис.11.1) путем последовательного преобразования его ортого­нальных проекций вместе с осями.

 

Рис.11.1

При повороте параллелепипеда (рис.11.1, а) с осями x и у вокруг оси z по стрелке А на 45° получаем его изображение (рис. 11.1, 6) с повернутыми осями х₁ и у₁ и сохранившейся вертикальной осью z. При повороте изоб­ражения на профильной проекции с осями z", x", у" по стрелке Б на угол 30° получаем изображение (рис.11.1, в) с осями z"₁, x"₂, у"₂, расположенными под некоторыми углами к аксонометрической плоскости Р (Р_w). Параллельная проекция (рис.11.1, г) по стрелке В на плоскости P и является аксонометрической проекцией па­раллелепипеда с осями на плоскости Р. Аксонометрическую плос­кость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги).

Проекции осей координат x_p, y_p, z_p на плоскости аксоно­метрических проекций называют аксонометрическими осями (в дальнейшем индекс «р» будет опускаться).

При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при разных направлениях проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга на­правлением аксонометрических осей и масштабами по ним. Это положение доказано теоремой К.. Польке, которая утверждает:

три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоско­сти и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных от­резков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.

Рассмотрим направление аксонометрических осей и масш­табы по ним для направления проецирования, перпендикуляр­ного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции.

 

 

Рис.11.2 Рис.11.3

Аксонометрическое изображение сферы и способ вписывания сферических поверхностей. В прямоугольной аксонометрии поверхность сферы проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в виде круга. Это позволяет использовать сферу для построения аксонометрических проекций тех фигур, в которые могут быть вписаны сферические поверхности. Так, например, аксонометрия поверхности вращения в этом случае может быть построена как огибающая сфер, вписанных в эту поверхность.

Коэффициент искажения. На рисунке 11.2 изображена про­странственная система ортогональных координат Ox, Oy, Oz единичные отрезки e на осях координат и их проекции в на­правлении S на некоторую плоскость P, являющуюся аксоно­метрической плоскостью проекций. Проекции e_x, e_y, e_z отрезка e на соответствующих аксонометрических осях O_px_p, O_py_p, O_pz_p в общем случае не равны отрезку e и не равны между собой. Отрезки e_x, e_y, е_z являются единицами измерения по аксоно­метрическим осям – аксонометрическими единицами (аксо­нометрическими масштабами).

Отношения:

называют коэффициентами искажения по аксонометричес­ким осям.

В частном случае положение аксонометрической плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы – отрезки е_х, e_y, e_z – будут все равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При е_х = e_у = e_z (k = m = n) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней оди­наковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при е_х = e_z ≠ e_y (k = n ≠ m), имеем диметрическую проекцию. Если е_х ≠ е_у ≠ e_z, то проекцию называют тpuметрической.

Аксонометрическая плоскость Р на рисунке 11.3 изображена так, что она пересекает все три координатные оси Ox, Oy, Oz в точках х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксоно­метрию. В этом случае отрезок ОО_р перпендикулярен плоско­сти Р. Отрезки O_px, O_py, O_pz являются аксонометрическими проекциями отрезков Ох, Oy, Oz и представляют собой ка­теты прямоугольных треугольников, гипотенузы которых – отрезки Ox, Oy, Oz. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости P через α, β, γ. Тогда:

 

Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е.

k = cos α; m = cos β; n = cosγ.

 

Известно, что для отрезка OO_р Р сумма квадратов направ­ляющих косинусов равна единице:

cos ² (π /2 – α) + cos ² (π /2 – β) + cos ² (π /2 – γ) = 1.

Отсюда:

sin ² α + sin ² β + sin ² γ = 1

или

1 – cos ² α + 1 – cos ² β + 1 – cos ² γ = 1.

Тогда:

cos ² α + cos ² β + cos ² γ = 2

или

k ² + m ² + n ² = 2,

 

т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.