Случайная величина с нормальной плотностью распределения,формулы,графики плотности распределения и функциираспределения,свойства,числовые характеристики.

Нормальная плотность распределения (Гаусса)

Кривая нормальной плотности распределения описывается функцией ,

которая называется гауссианой по имени германского математика К.Ф.Гаусса. Позднее были открыты многие замечательные свойства случайных величин, распределенных по нормальному закону. Ниже мы познакомимся с большинством этих свойств.Форма кривой нормальной плотности представлена на рис. 17. Это симметричная одномодальная плотность распределения, поэтому математическое ожидание, мода и медиана совпадают: .Дисперсия, четвертый центральный момент, асимметрия и эксцесс равны: , , As = 0, .

В некоторых источниках эксцесс плотности распределения определяют по отношению к эксцессу нормальной плотности распределения. Тогда эксцесслюбого распределения уменьшается на 3, а эксцесс нормального распределения равен 0: .Принадлежность случайной величины к нормальной генеральной совокупности с математическим ожиданием c и дисперсией мы будем обозначать следующим образом .Характеристическую функцию нормальной случайной величины приведем здесь без вывода: .

Обратим внимание на то, что приотсутствия сдвига плотности распределения относительно начала координат, то есть при c = 0 множитель пропадает.

Интегральная функция нормального распределения выражается интегралом от плотности распределения: .Этот интеграл не может быть записан в конечной форме, поэтому его значения табулируются. В связи с тем, что этот интеграл зависит от параметров с и , которые могут принимать бесчисленное множество значений, в целях удобства табулирования эти параметры исключаются путем замены переменной интегрирования: .Тогда, пользуясь тем, что нормальная плотность распределения симметрична и F(c)=0.5, получим для :

где функция называется функцией Лапласа. Таблицы этой функции приводятся во всех без исключения справочниках, учебниках и учебных пособиях по теории вероятностей и математической статистике. Если , . Оба эти выражения распространяются на всю ось путем объединения с использованием знаковой функции sign[·]: .Вероятностная мера полуоткрытого интервала (a, b] вычисляется, как .Если интервал симметричен относительно математического ожидания, то есть границы интервала суть (c - a, c + a], то .На практике часто используются интервалы, ширина которых исчисляется целыми значениями среднеквадратического отклонения s. Наиболее популярными среди них являются: a = s, a = 2s, a = 3s. Для этих значений . Соответственно, вероятностные меры интервалов: , , .

14.Принцип вычисления вероятностной меры интервала при нормальном распределении случайной величины. -интегральная ф-цинормального распределения,где -ф-ция ЛапласаВероятностная мера полуоткрытого интервала (a, b] вычисляется, как .

Если интервал симметричен относительно математического ожидания, то есть границы интервала суть (c - a, c + a], то .На практике часто используются интервалы, ширина которых исчисляется целыми значениями среднеквадратического отклонения s. Наиболее популярными среди них являются: a = s, a = 2s, a = 3s. Для этих значений . Соответственно, вероятностные меры интервалов: , , .

15.Интегральная теорема Муавра-Лапласа и центральная предельная теорема(без док-ва),безграничная делимость нормальной плотности распределения два из многих исключительных свойств нормального распределения вероятностей: интегральная теорема Муавра-Лапласа и Центральная Предельная Теорема ( ЦПТ ).

Интегральная теорема Муавра-Лапласа основывается на локальной теореме Муавра-Лапласа. Напомним, что если в схеме Бернулли (см. п. 1.2.4) количество испытаний возрастает, т.е. n ®¥, а вероятность p появления одного из двух противоположных событий не изменяется, то в соответствии с локальной теоремой Муавра-Лапласа Интегральная теорема Муавра - Лапласа посвящена задаче упрощенной оценке вероятности без необходимости трудоемких вычислений числа сочетаний. На основании локальной теоремы .Последнее равенство является точным в условиях действия локальной теоремы Муавра-Лапласа в связи с тем, что из-за дискретности случайной величины m = 1. В то же время последняя сумма есть не что иное, как формула прямоугольников приближенного вычисления интеграла:

.В конечном итоге при n ®¥ и при p = const интегральная теорема Муавра - Лапласа утверждает следующую ассимптотику . Центральная Предельная Теорема (ЦПТ). Приведем упрощенную формулировку теоремы. Плотность распределения суммы независимых произвольно распределенных случайных величин, дисперсии которых различаются не слишком сильно, при увеличении числа слагаемых стремится к нормальной плотности распределения.

Распределение вероятностей случайной величины безгранично делимо тогда и только тогда, когда эта случайная величина может быть представлена суммой любого количества независимых случайных величин, подчиненных тому же распределению вероятностей