Аппроксимация экспериментальных данных

Аппроксимация методом наименьших квадратов

Аппроксимацией называется замена некоторой функции, заданной аналитически или таблично, другой функцией, близкой к исходной, но более простой и удобной для вычисления.

Метод наименьших квадратов. Часто при аппроксимации экспериментальных данных, полученных с некоторой погрешностью, целесообразно строить приближающую функцию таким образом, чтобы сгладить влияние погрешности. В качестве аппроксимирующих функций могут быть использованы линейные, квадратичные, степенные, показательные, дробно-линейные и другие функции. Вид функции аппроксимации выбирается по графическому представлению экспериментальных данных.

Рассмотрим два вида аппроксимации: линейную и квадратичную функции. Коэффициенты находятся при решении систем:

соответственно для линейной и квадратичной функций.

Решать данные системы можно методом обратной матрицы.

Пример 1: Аппроксимировать методом наименьших квадратов функцию, заданную таблично:

 

	0,23	0,57	0,94	1,48	2,03
	1,45	1,65	1,89	2,34	3,02

 

Изобразим исходные данные графически (рис. 24), видно, что расположение точек напоминает прямую, поэтому для аппроксимации используем линейную функцию (рис. 25).

 

Рис. 24. Графическое представление исходных данных

 

Полученная функция аппроксимации исходных данных имеет вид .

 

Рис. 25. Вид экрана при аппроксимации линейной функцией

 

Пример 2: Аппроксимировать методом наименьших квадратов функцию, заданную таблично:

 

	0,23	0,57	0,94	1,48	2,03
	1,45	0,99	0,65	0,73	1,3

 

Изобразим исходные данные графически (рис. 26), видно, что расположение точек напоминает параболу, поэтому для аппроксимации используем квадратичную функцию (рис. 27).

 

Рис. 26. Графическое представление исходных данных

Рис. 27. Вид экрана при аппроксимации квадратичной функцией

 

Полученная функция аппроксимации исходных данных имеет вид .

 

Задания для самостоятельного выполнения.

Из таблицы 4 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Предварительно изобразить исходные данные на графике. Выполнить линейную и квадратичную аппроксимации данных. Реализовать графическое представление аппроксимирующей функции.

 

Контрольные вопросы

1. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

2. Формулы линейной аппроксимации метода наименьших квадратов.

3. Формулы квадратичной аппроксимации метода наименьших квадратов.

 

Численное интегрирование