Абсолютная и относительная погрешности

Кафедра информатики и вычислительной техники

С.А. Лысенкова

Н.Б. Назина

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебно-методическое пособие

Сургут

Издательский центр СурГУ

УДК 519.6(072)

ББК 22.193я73

Л-886

Печатается по решению

редакционно-издательского совета СурГУ

Рецензент:Назин А.Г. – к.ф.-м.н., доцент кафедры

прикладная математика

Лысенкова С. А.

Численные методы: учебно-методическое пособие / С.А. Лысенкова, Н. Б. Назина; Сургут. Гос. Ун-т ХМАО – Югры. – Сургут: ИЦ СурГУ, 2014. – 53 с.

Приведена теория и формулы по темам «Элементы теории погрешностей», «Численные методы решения нелинейных уравнений», «Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений», «Аппроксимация экспериментальных данных», «Численное интегрирование», «Численное решение дифференциальных уравнений», «Линейное программирование».

Рассмотрены способы реализации средствами Excel.

Предназначено для студентов первого курса Политехнического института изучающих дисциплину «Информатика».

УДК 519.6(072)

ББК 22.193я73

Л-886

составление, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ.. 3

АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ.. 3

Численные методы решения нелинейных уравнений.. 4

Способы отделения корней уравнений.. 4

Решение нелинейных уравнений методами бисекций и хорд 6

Решение нелинейных уравнений методом ньютона и комбинированным методом 8

Решение нелинейных уравнений методом простых итераций 9

Численные методы решения системлинейных уравнений 10

Решение систем линейных уравнений методом простых итераций методом зейделя 10

аппроксимация экспериментальных данных.. 12

аппроксимация методом наименьших квадратов.. 12

численное интегрирование.. 14

приближенное решение определенных интегралов.. 14

численное решение дифференциальных уравнений.. 17

приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений 17

линейное программирование.. 19

Литература.. 21

Приложения.. 22

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ

Пусть – точное значение, – приближенное значение некоторого числа.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна модулю разности между его точным и приближенным значениями:

Довольно часто точное значение неизвестно, поэтому вместо абсолютной погрешности используют понятие границы абсолютной погрешности:

Число называется предельной абсолютной погрешностью, оно равно или превышает значение абсолютной погрешности.

Основной характеристикой точности числа является относительная погрешность.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа:

Результат действий над приближенными числами представляет собой приближенное число. Погрешность результата выражается через погрешности первоначальных данных по правилам:

Общая формула для оценки предельной абсолютной погрешности функции нескольких переменных имеет вид:

где –предельная абсолютная погрешность числа .

Пример: Известно, что где

Найти , , ,

Для оценки предельной абсолютной погрешности воспользуемся формулой:

Рис. 1. Вид экрана для вычисления абсолютной и относительной погрешностей

Исходные данные вводятся в блок А1:B6 (рис. 1). В ячейки С1:С6 вводятся формулы для вычисления частных производных искомой функции. В ячейку Е8 записывается формула . Модуль вводится с использованием функции = abs ().

В ячейках D1:E6 рассчитываются верхние и нижние оценки значений переменных по формулам (аналогично для других переменных).

В ячейках B8:B10 вычисляются верхняя и нижняя оценки значений функции и само значение функции отличие вычисляемых функций в используемом наборе аргументов.

В ячейку Е9 записывается формула для вычисления абсолютной погрешности Найденная абсолютная погрешность не должна превышать значение предельной абсолютной погрешности, т.е.

В ячейку Е10 записывается формула для вычисления относительной погрешности

Предельную относительную погрешность заданной функции вычислим следующим образом:

Полученную формулу записывают в ячейку Е11. Найденная относительная погрешность не должна превышать значение предельной относительной погрешности, т.е.

Задания для самостоятельного выполнения.

Из таблицы 1 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Вычислить частные производные, верхнюю и нижнюю оценки значений функции и само значение функции, изменить формулу вычисления предельной относительной погрешности. Все остальные ячейки пересчитаются автоматически.

Контрольные вопросы

1. Как записать основные математические функции в Excel.

2. Сформулируйте определение абсолютной и относительной погрешностей.

3. Запишите формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей.

4. Основные правила вычисления абсолютной и относительной погрешностей.