Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y, Z в неподвижной системе координат ОXYZ в соответствии с (3.10), взаимосвязь проекций вектора точки 
на оси двух систем координат [ X ]н и [ x ]п имеет вид
, (3.14)
или 
, (3.15)
где 
, 
, 
-углы Эйлера; 
- матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов 
,задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом [ X ]н)к осям подвижной системы Оxyz (с базисом [ x ]п ), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица получается путем замены в матрице строк на столбцы. Выражение находим из формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой: [ X ]н® [ x 1] ®[ x 2]®[ x ]п, из которых две системы [ x 1] и [ x 2] промежуточные.
Переход от осей системы[ X ]н к осям системы [ x 1] осуществляется поворотом на угол прецессии ψвокруг неподвижной OY – оси прецессии системы [ X ]н (рис. 3.9 … 3.11).
Переход от осей системы[ x 1] к осям системы[ x 2] осуществляется поворотом на уголнутации θ вокруг оси 
системы [ x 1] (рис. 3.5 … 3.11, б).
Рис. 3.9
Переход от осей системы [ x 2] к осям системы[ x ]п– поворотом на уголротации (собственного вращения) φвокруг оси 
системы[ x 2] .
а б в
Рис. 3.10
Формулы преобразования координат получаем, рассмотрев переход от системы ОXYZ ([ X ]н) к системе Оxyz ([ x ]п), выполненный с помощью трех поворотов:
1. Поворота системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY на угол прецессии ψ, т.е. [ X ]н®[ x 1], ОXYZ ® 
, причем 
(рис. 3.9 … 3.11, а). Координаты систем координат ОXYZ и (рис. 3.11, a) связаны соотношениями
X = x 1 cos y + 0 + z 1 sin y,
Y = 0 + y 1 + 0,
Z = - x 1 sin y + 0 + z 1 cos y,
или в матричной форме
[ X ] ={a2y} т [ x 1], (3.16)
где поворотная матрица {a2y} т = 
(3.17)
описывает поворот вокруг второй оси ОY на угол прецессии ψ.
а б
Рис. 3.11
2. Поворота системы вокруг третьей из коорди-натных осей на уголнутацииθ, т.е. [ x 1] ®[ x 2],
® 
, при этом = 
(рис. 3.7,3.9, 3.11, б).
Формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11, б, при этом таковы:
x 1 = x 2 cos q - y 2 sin q + 0,
y 1 = x 2 sin q + y 2 cos q + 0,
z 1 = 0 + 0 + z 2,
или в матричной форме
[ x 1] = {a3q } т [ x 2], (3.18)
где матрица {a3q } т = 
(3.19)
описывает поворот вокруг оси 0z 1 на угол нутации q.
3. Поворота системы вокруг второй из координатных осей 
на уголротации (собственного вращения) φ,т.е.[ x 2]®[ x ]п(рис. 3.7, 3.9 … 3.11, а), ® Cxyz,поэтому формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11, а, имеют вид
x (2) = x cos j + 0 + z sin j,
y (2) = 0 + y + 0,
z (2) = - x sin j + 0 + z cos j,
или в матричной форме
[ x 2 ] = { a2j }т [ x ], (3.20)
поворотная матрица { a2j }т аналогична (3.17) {a2y} т:
{a2φ} т = 
. (3.21)
Подставляя в (3.16) соотношение (3.18), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем
[ X ] ={a2y} т {a3q} т [ x (2)], (3.22)
где промежуточная поворотная матрица {a2y,3q }т находится как произведение двух матриц поворота,
{ a2y,3q }т = { a2y}т {a3q } т =
= = (3.23)
= 
.
Подставим в (3.16) формулы (3.18) и (3.20):
[ X ] ={a2y} т {a3q} т {a2j }т [ x ]. (3.24)
Сравнивая выражения (3.15) и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21):
{ay,q,j } т = = { a2y} т { a3q } т { a2j } т =
= 
=(3.25)
При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела.
