Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, составленные в обобщенных координатах. Рассматривается движение системы, состоящей из n материальных точек относительно инерциальной системы отсчета. Наложенные на систему h связей – голономные, удерживающие, нестационарные. Если связи неидеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам.
Пусть система имеет s = 3 n – h степеней свободы и ее положение определяется q 1, q 2, …, qi, …, qs обобщенными координатами, а радиус-вектор любой точки этой системы - формулой (2.11): 
.
Виртуальноеперемещение k -й точки 
, ее скорость
. (2.19)
Уравнения Лагранжа второго рода формулируются следующим образом:
, (2.20)
где T – кинетическаяэнергия механической системы; число уравнений Лагранжа II рода равно i = s числу степеней свободы системы; т.е. полная производная по времени d/dt от частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной скорости 
минус частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной координате 
равна обобщенной силе 
, соответствующей обобщенной координате 
.
В уравнения Лагранжа не входят заранее неизвестные реакции идеальных связей.
Если силы, действующие на систему, потенциальные, то обобщенные силы находятся по формуле (2.18), а уравнения Лагранжа второго рода в этом случае преобразуются к виду
(2.21)
Функция, равная разности кинетической и потенциальных энергий механической системы, называется функцией Лагранжа L = T – П. Так как потенциальная энергия системы является функцией только обобщенных координат, то
При использовании функции Лагранжа уравнения(2.21) принимают вид
(2.22)
Кинетическая энергия механической системы, состоящей из n материальных точек, как известно, определяется по формуле
. (2.23)
Принимая во внимание выражение (2.19), кинетическую энергию системы можно записать в виде
= 
(2.24)
где
Если наложенные на систему связи стационарные, то 
, и тогда Bi = 0, C = 0. В этом случае кинетическая энергия системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:
(2.25)
Производные от кинетической энергии (2.25) по обобщенной скорости 
и времени, соответствующие левой части уравнений Лагранжа второго рода (2.20), равны
Так как 
то
Подставляя эти выражения в уравнение Лагранжа (2.20), получаем
(2.26)
Так как обобщенные силы - функции обобщенных координат, времени и, возможно, обобщенных скоростей, то каждое из уравнений (2.26) имеет второй порядок. Порядок уравнений не изменится и при нестационарных связях, так как в этом случае в выражения (2.26) войдут слагаемые, зависящие только от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени.
Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода для механической системы с голономными связями представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2 n относительно обобщенных координат.
Уравнения Лагранжа второго рода сыграли решающую роль в развитии динамики систем и широко используются для решения многих задач динамики многопараметрических систем. Следует отметить, что для понимания существа и особенностей метода Лагранжа недостаточно изучения одной теории, необходимо рассматривать много примеров и задач. Изучение уравнений Лагранжа должно быть предметным.
