Виртуальная работа силы. Идеальные связи

Виртуальной называется работа силы на любом виртуальном перемещении точки ее приложения:

d А () = .

Для вычисления виртуальной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного возможного виртуальное перемещение точки.

При использовании декартовых координат

d А () = F_x d x + F_y d y + F_z d z.

Например,виртуальная работа горизонтальной силы , приложенной к стержню АВ (рис. 2.7) в точке С,равна d А ()= F_x d x_с. Так как F_x = - F, x_с = BC cosjи d x_с = - BC sinj · dj,то
dА() = F BC sinj · dj.

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси l = Oz,приложена сила , момент которой относительно этой оси М_l=Oz, то

d А () = М_l=Oz dj,

где dj - виртуальное угловое перемещение тела вокруг оси l =Oz.

d А () = F _t d s,

где F _t – проекция силы на направление касательной, d s – вариация траекторной координаты точки приложения силы при траекторном способе задания ее движения.

d А () = F_v d S,

где F_v – проекция силы на направление скорости точки приложения силы, d S – вариация перемещения точки приложения силы.

Виртуальная работа потенциальных сил равна вариации силового потенциала d А = d U или вариации со знаком минус потенциальной энергии системы d А = - dП.

Установив понятие виртуальной работы силы, можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальные и неидеальные.

Связи называются идеальными, если равна нулю сумма виртуальных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы (из занимаемого в данный момент времени положения).

Для идеальных связей

или .

Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы, которая состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей. Например,если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которой f (x, y, z)= 0, то нормальная реакция ,гдеl – неопределенный множитель Лагранжа.

Уравнения связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образуют замкнутую систему уравнений, позволяющую определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи

.

Примеры идеальных связей:

1. Гладкая поверхность (плоскость)для материальной точки. В этом случае d А ()= × = | | × | |cos () = 0, так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно, ортогонален вектору виртуального перемещения точки.

2. Нерастяжимая нить. Реакция нити – сила ее натяжения ортогональна виртуальному перемещению точки ее приложения, поэтому d А ()= × = 0.

3. Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвиж-
ной опоре (рис. 2.8), то реакция приложена к неподвижной точке. Поэтому ее виртуальное перемещение равно нулю и dА ()= × = 0 и др.

4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Виртуальная работа сил реакции равна нулю, так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам С_МЦС сечений катка (см. рис. 2.1).

Обобщенные силы

В аналитической механике, наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы,

. (2.12)

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s = 3 n - h степеней свободы, то ее положение определяется обобщенными координатами (i = s) и (2.11), а виртуальное перемещение k- й точки

; .

Подставляя в формулу для виртуальной работы сил (2.12), получаем

. (2.13)

Скалярную величину

(2.14)

называют обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате.

Подставляя (2.14) в (2.13), получаем формулу для виртуальной работы

. (2.15)

Обобщенной силой, соответствующей i - й обобщенной координате, называется множитель при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работа определяется от задаваемых активных сил, независящих от ограничений, и реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T_j от N_j (T_j – это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная силаявляется функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из формулировки следует, что обобщенная сила – скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.

Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис. 2.9), за обобщенную координату можно принять: либо q = s - перемещение центра масс диска, либо q = j - угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то в первом случае обобщенной силой будет Q_s = mg sina, а во втором - Q _j = mg r sina.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из (2.15) следует, что единица измерения обобщенной силыравна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты. Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s – перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы
Q_s – ньютон. Если же в качестве q = j будет принят угол поворота тела (в радианах), то единицей измерения обобщенной силы Q _j будет ньютон´метр.

Существуют различные способы вычисления обобщенных сил.

1. Согласно (2.14), обобщенная сила

= .

Принимая во внимание, что , получаем

. (2.16)

Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим.

Пример 2.11. Найти обобщенную силу Q_{q= j}, если в кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.10) OA=AB= l, – вертикальная, а – горизонтальная силы.

Решение. Так как F _{1 x}= 0и F _{2 y}= 0, то обобщенная сила согласно (2.16)

.

Проекции сил и координаты точек их приложения определяются как F _{1 y}=- F ₁; F _{2 x}=- F ₂; y_A = l sinj; x_B = 2 l cosj. Следовательно, Q_{q= j}= - F ₁ l cosj + 2 F ₂ l sinj.

 

 

 

Рис. 2.10

 

 

2. Укажем на более простой способ вычисления обобщенной силы. Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы s=k > 1целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации тоже не зависят друг от друга. Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.15) получаем

. (2.17)

Индекс q_i в (2.17) означает, что виртуальная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только одной i- йобобщенной координаты.

Пример 2.12. Найти обобщенные силы и для системы (рис. 2.11). Масса груза 1 равна m ₁, массацилиндра 2 равна m ₂, а его радиус r. Нить по блоку 3 и цилиндру 2 не скользит. Центр масс цилиндра 2 движется вдоль вертикали.

Решение. Для определе-ния обобщенной силы зададим приращение d s ¹ 0координате груза 1, а для угла jповорота цилиндра 2, будем считать j =const,т.е. dj =0. При этом центр масс цилиндра 2 будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Следовательно,

 

 

,

где P ₁ =m ₁ g; P ₂ =m ₂ g.

Определяя , будем полагать, что d s= 0,аdj ¹ 0.Тогда

.

3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных силможно использовать силовую функцию U или потенциальную энергию П системы.

Потенциальная сила

Подставляя проекции силы в (2.17), получаем

Так как U = - П,то

(2.18)

Пример 2.13. В системе, показанной на рис. 2.12, массы груза 1 и цилиндра 2 равны m ₁и m ₂соответственно, радиус цилиндра r, а коэффициент жесткости пружины с ₁ .

 

Рис. 2.12

 

Полагая, что трение между грузом и наклонной плоскостью отсутствует, а траектория точки С – центра масс цилиндра – вертикаль, найти обобщенные силы и , если при s =0пружина не деформирована.

Решение. Потенциальная энергия системы

.

Обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам: