Виртуальной называется работа силы на любом виртуальном перемещении точки ее приложения:
d А (
) = 
.
Для вычисления виртуальной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного возможного 
виртуальное 
перемещение точки.
При использовании декартовых координат
d А () = Fx d x + Fy d y + Fz d z.
Например,виртуальная работа горизонтальной силы 
, приложенной к стержню АВ (рис. 2.7) в точке С,равна d А ()= Fx d xс. Так как Fx = - F, xс = BC cosjи d xс = - BC sinj · dj,то
dА() = F BC sinj · dj.
Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси l = Oz,приложена сила , момент которой относительно этой оси Мl=Oz, то
d А () = Мl=Oz dj,
где dj - виртуальное угловое перемещение тела вокруг оси l =Oz.
d А () = F t d s,
где F t – проекция силы на направление касательной, d s – вариация траекторной координаты точки приложения силы при траекторном способе задания ее движения.
d А () = Fv d S,
где Fv – проекция силы на направление скорости точки приложения силы, d S – вариация перемещения точки приложения силы.
Виртуальная работа потенциальных сил равна вариации силового потенциала d А = d U или вариации со знаком минус потенциальной энергии системы d А = - dП.
Установив понятие виртуальной работы силы, можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальные и неидеальные.
Связи называются идеальными, если равна нулю сумма виртуальных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы (из занимаемого в данный момент времени положения).
Для идеальных связей 
или 
.
Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы, которая состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей. Например,если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которой f (x, y, z)= 0, то нормальная реакция 
,гдеl – неопределенный множитель Лагранжа.
Уравнения связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образуют замкнутую систему уравнений, позволяющую определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи
.
Примеры идеальных связей:
1. Гладкая поверхность (плоскость)для материальной точки. В этом случае d А (
)= × = | | × | |cos (
) = 0, так как вектор 
расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно, ортогонален вектору виртуального перемещения точки.
2. Нерастяжимая нить. Реакция нити – сила ее натяжения ортогональна виртуальному перемещению точки ее приложения, поэтому d А ()= × = 0.
3. Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвиж-
ной опоре (рис. 2.8), то реакция приложена к неподвижной точке. Поэтому ее виртуальное перемещение равно нулю и dА ()= × 
= 0 и др.
4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Виртуальная работа сил реакции равна нулю, так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам СМЦС сечений катка (см. рис. 2.1).
Обобщенные силы
В аналитической механике, наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы,
. (2.12)
Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s = 3 n - h степеней свободы, то ее положение определяется обобщенными координатами 
(i = s) и (2.11), а виртуальное перемещение k- й точки
; 
.
Подставляя 
в формулу для виртуальной работы сил (2.12), получаем
. (2.13)
Скалярную величину
(2.14)
называют обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате.
Подставляя (2.14) в (2.13), получаем формулу для виртуальной работы
. (2.15)
Обобщенной силой, соответствующей i - й обобщенной координате, называется множитель при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.
Виртуальная работа определяется от задаваемых активных сил, независящих от ограничений, и реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость Tj от Nj (Tj – это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).
В общем случае обобщенная силаявляется функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из формулировки следует, что обобщенная сила – скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.
Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис. 2.9), за обобщенную координату можно принять: либо q = s - перемещение центра масс диска, либо q = j - угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то в первом случае обобщенной силой будет Qs = mg sina, а во втором - Q j = mg r sina.
Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из (2.15) следует, что единица измерения обобщенной силыравна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты. Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s – перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы
Qs – ньютон. Если же в качестве q = j будет принят угол поворота тела (в радианах), то единицей измерения обобщенной силы Q j будет ньютон´метр.
Существуют различные способы вычисления обобщенных сил.
1. Согласно (2.14), обобщенная сила
= 
.
Принимая во внимание, что 
, получаем
. (2.16)
Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим.
Пример 2.11. Найти обобщенную силу Qq= j, если в кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.10) OA=AB= l, 
– вертикальная, а 
– горизонтальная силы.
Решение. Так как F 1 x= 0и F 2 y= 0, то обобщенная сила согласно (2.16)
.
Проекции сил и координаты точек их приложения определяются как F 1 y=- F 1; F 2 x=- F 2; yA = l sinj; xB = 2 l cosj. Следовательно, Qq= j= - F 1 l cosj + 2 F 2 l sinj.
Рис. 2.10
2. Укажем на более простой способ вычисления обобщенной силы. Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы s=k > 1целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации тоже не зависят друг от друга. Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.15) получаем
. (2.17)
Индекс qi в (2.17) означает, что виртуальная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только одной i- йобобщенной координаты.
Пример 2.12. Найти обобщенные силы 
и 
для системы (рис. 2.11). Масса груза 1 равна m 1, массацилиндра 2 равна m 2, а его радиус r. Нить по блоку 3 и цилиндру 2 не скользит. Центр масс цилиндра 2 движется вдоль вертикали.
Решение. Для определе-ния обобщенной силы 
зададим приращение d s ¹ 0координате груза 1, а для угла jповорота цилиндра 2, будем считать j =const,т.е. dj =0. При этом центр масс цилиндра 2 будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Следовательно,
,
где P 1 =m 1 g; P 2 =m 2 g.
Определяя , будем полагать, что d s= 0,аdj ¹ 0.Тогда
.
3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных силможно использовать силовую функцию U или потенциальную энергию П системы.
Потенциальная сила
Подставляя проекции силы 
в (2.17), получаем
Так как U = - П,то
(2.18)
Пример 2.13. В системе, показанной на рис. 2.12, массы груза 1 и цилиндра 2 равны m 1и m 2соответственно, радиус цилиндра r, а коэффициент жесткости пружины с 1 .
Рис. 2.12
Полагая, что трение между грузом и наклонной плоскостью отсутствует, а траектория точки С – центра масс цилиндра – вертикаль, найти обобщенные силы 
и , если при s =0пружина не деформирована.
Решение. Потенциальная энергия системы
.
Обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам:
