Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем

1.Определить число степеней свободы системы и выбрать наиболее удобные обобщенные координаты.

2. Вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости .

Напомним формулы кинетических энергий в абсолютном движении:

· для материальной точки ;

· длясистемы материальных точек ;

· длятвердого тела:

– при поступательном движении ;

– при вращении вокруг неподвижной оси l ;

– при плоскопараллельном движении

;

– при вращении вокруг неподвижной точки ;

– в общем случае движения твердого тела

3. Вычислить производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа.

4. Определить обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам (так как каждой обобщенной координате соответствует обобщенная сила, то число обобщенных сил механической системы равно числу обобщенных координат, причем размерность каждой из обобщенных сил соответствует размерности соответствующей обобщенной координаты).

5. Подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа.

Пример 2.14. Механическая система (рис. 2.13) состоит из однородного круглого цилиндра 1 массой m ₁ и радиусом r, однородного стержня 2 длиной l и массой m ₂, к которому в точках А и В шарнирно прикреплены ползуны 3 и 4 массами m ₃и m ₄, а также двух пружин с коэффициентами жесткости С ₁ и С ₂. Цилиндр без скольжения катится по горизонтальной плоскости. К нему приложена пара сил с моментом М ₁(t).

Пренебрегая сопротивлением качению цилиндра 1, трением в шарнирах и направляющих, а также массой пружин, составить дифференциальные уравнения движения системы.

Рис. 2.13

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем перемещение q ₁ = s центра масс С цилиндра 1 и угол q ₂ = jповорота стержня 2 (против хода часовой стрелки). Полагаем, что при s = 0 иj = 0 пружины не деформированы.

Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют вид

. (2.27)

Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий: цилиндра 1 и стержня 2, совершающих плоское движение; ползунов 3 и 4, совершающих поступательное движение:
T = Т ₁+ Т ₂+ Т ₃+ Т ₄.

Кинетическая энергия цилиндра 1 . Так как .

Кинетическая энергия стержня 2 . Ско-рость центра масс стержня , где – мгно-

венный центр скоростей (МЦС) стержня 2. Принимая во внимание, что получаем .

Ползуны движутся поступательно и, следовательно,

;

.

Таким образом, кинетическая энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные скорости, равна

.

Вычисляем производные от кинетической энергии системы:

– по q ₁ = s

– по q ₂ = j ;

;

.

Для нахождения обобщенных сил и , соответствующих обобщенным координатам, воспользуемся выражением виртуальной работы сил (2.15):

. (2.15 а)

Эта формула позволяет вычислять обобщенные силы последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации не зависят друг от друга. Поэтому системе можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются.

1. При ,

, (2.28)

где , а выражение в квадратных скобках в (2.28) перед вариацией есть обобщенная сила

. (2.29)

2. При ,

(2.30)

где

Выражение в квадратных скобках в уравнении виртуальной работы (2.30) перед вариацией есть обобщенная сила

.(2.31)

Подставляя значения производных от кинетической энергии и выражения для обобщенных сил (2.29) и (2.31) в (2.27), получаем дифференциальные уравнения движения системы:

по q ₁ = s Þ ;

по q ₂ = jÞ

.