Многогранные поверхности. Многогранники:

а) определение, сетка многогранника, построение проекций, определение видимости ребер и граней.

б) принадлежность точки и линии поверхности многогранника (ответ построить по комплексному чертежу, состоящему из 2-х проекций наклонной пирамиды).

Поверхность, образованная частями попарно-пересекающихся плоскостей- многогранная. Элементами многогранной поверхности являются грани, ребра, вершины.

рассмотрим многогранник и решим задачу видимости аналогично задаче освещенности, рассмотренной ранее. Если вектор нормали какой-то грани Ни составляет с Л, задающим направление проецирования тупой угол, то эта грань видна и называется лицевой. При параллельном проецировании скалярное произведение (n,l)<=0 В случае когда угол - острый, грань не видна и не лицевая. При центральном проецировании с центром в C вектор проецирования для точки P l = c-p (разность векторов)

построение проекций многогранника

Для определения положения горизонтальной проекции 1₁ используем образующую пирамиды: проведем через вершину S ₂ и точку 1₂ прямую до пересечения с ребром А ₂ В ₂ основания. Затем по линии связи получим горизонтальную проекцию этой точки на ребре А ₁ В ₁. Соединив полученную точку с вершиной S ₁, будем иметь горизонтальную проекцию образующей. На ней и лежит точка 1₁, положение которой определим по линии связи 1₂. Аналогично можно построить горизонтальную проекцию 2₁, с учетом того, что (2₂) – невидимая. Значит точка 2 лежит на грани SAC. Тогда основание образующей попадает на ребро АС основания. В остальном построения полностью повторяют предыдущие.

Однако для определения положения горизонтальной проекции 3₁ использовать образующую не представляется возможным, так как ребро SB, на котором лежит точка 3, в проекциях на П ₁, П ₂ дает вертикальную прямую (т.е. является профильной линией уровня). В этом случае используют линию, параллельную основанию. Через точку 3₂проводят прямую, параллельную А ₂ В ₂, до пересечения с ребром S ₂ A ₂. Затем на ребре S ₁ A ₁ по линии связи получают горизонтальную проекцию точки пересечения, через которую проводят прямую параллельно А ₁ В ₁. Поскольку точка 3 лежит на этой прямой, то продолжая ее горизонтальную проекцию до пересечения с ребром S ₁ В ₁, получаем точку 3₁.

Профильную проекцию 1₃ строим на основании взаимосвязи между горизонтальной и профильной проекциями точки. А именно, откладываем по линии связи, проходящей через 1₂, от базовой линии Ф₃ вправо отрезок, равный расстоянию от 1₁ до Ф₁, как это делалось при построении профильной проекции пирамиды. Точка 2₃ лежит на пересечении горизонтальной линии связи, проходящей через 2₂, и грани S ₃ A ₃ C ₃, превратившейся в прямую S ₃ A ₃. Наконец, точку 3₃ находим на горизонтальной линии связи, проходящей через 3₂ и ребро S ₃ В ₃.

Следует заметить, что горизонтальную проекцию 3₁ можно найти через профильную. Для этого измеряем расстояния от 3₃ до Ф₃ и откладываем его вниз от Ф₁ по ребру S ₁ В ₁.

Экзаменационный билет №_15

Кривые поверхности:

а) образование;

б) определитель поверхности;

в) очерк поверхности;

г) задание поверхности на чертеже;

д) принадлежность точки и линии поверхности.

В начертательной геометрии все геометрические объекты задаются графически. Поэтому кривая поверхность может рассматриваться как совокупность всех положений некоторой линии, движущейся в пространстве. Движущуюся линию в этом случае называют образующей поверхности, а линии (иногда и точки), определяющие закон ее перемещения, - направляющими. Такой способ образования поверхности получил название кинематический.

понятие определителя поверхности. Под этим понятием обычно подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и кинематических связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

Геометрической части - совокупности геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность.

Алгоритмической части - алгоритма формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя.

Чтобы найти определитель поверхности, следует исходить из кинематического способа образования поверхности.

очерк проекции поверхности

На рис. 2-39а показана поверхность Г, которую ортогонально проецируют на плоскость проекций П₁ (рис. 2-34б). Проецирующие прямые касаются поверхности Г и образуют цилиндрическую поверхность S ^ П₁. Эти проецирующие прямые касаются поверхности Г в точках, образующих некоторую линию m принадлежащую Г, называемую контурной линией данной поверхности. Проекция контурной линии на плоскость проекций называется

очерком проекции поверхности - m₁.

S Ç П₁ = m₁

m₁ - очерк поверхности на горизонтальную плоскость проекций (очертание, линия очерка, очерковая линия). Таким образом, очерком проекции поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части какой-либо плоскости проекций.

задание поверхности с помощью определителя. Для того, чтобы задать поверхность, достаточно задать образующую поверхности и определить закон, по которому она перемещается в пространстве. Законы движения образующих могут задаваться различно:

1) Образующая движется, пересекая какую-либо неподвижную линию, которая называется направляющей.

2) Образующая движется, пересекая две или три направляющие линии.

3) Образующая движется параллельно самой себе или параллельно некоторой плоскости, которая называется плоскостью параллелизма и др.

Экзаменационный билет №_16

Поверхности вращения:

а) Образование, определитель поверхности;

б) поверхности, образованные вращением прямой линией;

в) поверхности, образованные вращением кривых второго порядка (окружности, эллипса, параболы, гиперболы) вокруг их осей

г) принадлежность точки и линии поверхности.

Линия, перемещающаяся в пространстве, называется образующей. Образующая может быть прямой линией или кривой. Она может иметь постоянную форму или менять ее в процессе перемещения. Закон перемещения в пространстве образующей удобно задавать в виде совокупности неподвижных линий. Их называют направляющими. Процесс образования поверхности показан на рис.8.1.

Образующей является кривая 1. Закон перемещения задан двумя направляющими d₁, d₂ и плоскостью g. Образующая 1 скользит по направляющим d₁ и d₂, оставаясь параллельной плоскости g, Точка А, принадлежащая поверхности принадлежит 1₂. Поверхность определена, если можно однозначно решить, принадлежит точка пространства данной поверхности или нет. Совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже, называется определителем поверхности.

Поверхности, образуемые вращением прямой (линейчатые поверхности вращения)

Вращением прямой линии образуются:
1) цилиндр вращения, если прямая l параллельна оси i
2) конус вращения, если прямая l пересекает ос i
3) однополостный гиперболоид вращения, если прямая l (ВС) скрещивается с осью i

Поверхность имеет две образующие линии l (ВС) и l' (В'С'), наклоненные в разные стороны и пересекающиеся в точке (А), принадлежащей наименьшей параллели. Отрезок ОА является кратчайшим расстоянием между образующей и осью. Таким образом, на поверхности однополостного гиперболоида располагаются два семейства прямолинейных образующих. Все образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые.

Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого. Через каждую точку поверхности проходят две образующие разных семейств. Меридианом поверхности является гипербола.
Все рассмотренные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.
Построение проекций точки, принадлежащей каждой из них, можно выполнить при помощи параллели или прямолинейной образующей, проходящих через нее.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей

1. Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра
2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.
3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.

4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой
5. Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

принадлежность точки и линии поверхности.

На поверхности конуса определить фронтальную проекцию точки В по заданной горизонтальной

Через горизонтальную проекцию В₁ проведена проекция образующей l₁, построена фронтальная проекция образующей l₂, и на ней лежит недостающая фронтальная проекция В₂ точки В.

 

Экзаменационный билет №_17