Построение комплексного чертежа точки

Точка[11] – одно из основных понятий геометрии. В современной математике точками называют элементы различной природы, из которых состоят пространства, например, в евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n чисел.

В начертательной геометрии положение точки в пространстве можно опре­делить её координатами. Замечательным признаком является то, что координата, характеризующая удаление точки от плоскости проекций, одноимённа с осью, которая не присутствует при образовании этой плоскости про­екций. Так, удаление точки от П₂ измеряется координатой y, а сама фронтальная плоскость проекций П₂ образуется пересечением осей OХ и OZ.

Таким образом, каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A₁(X_A; Y_A); фронтальная – A₂(X_A; Z_A); профильная – A₃(Y_A; Z_A).

Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. Так, в системе плоскостей проекций П₁П₂ общая для фронтальной и горизонтальной проекций координата x транслируется вертикальной линией связи А₂А₁, перпендикулярной оси OХ.

По двум данным проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически. Графически профильную проекцию строят, транслируя параметр Z горизонтальной линией связи, проведённой из фронтальной проекции, а параметр Y переносят с горизонтальной проекции, используя постоянную прямую чертежа k – биссектрису угла расщеплённой оси: Y₁ОY₃, на которой горизонтальная линия связи, проведённая из горизонтальной проекции перпендикулярно OY₁, преломляется под прямым углом. При этом у начала координат формируется квадрат со стороной, равной координате Y оригинала, что обеспечивает передачу координаты Y между горизонтальной и профильной проекциями. В табл. 3.1 и 3.2 представлены общие алгоритмы построения точки А по координатам в пространственной модели системы трёх плоскостей проекций П₁П₂П₃ и на комплексном чертеже.

Таблица 3.1

Алгоритм построения наглядного изображения точки по координатам
Словесная форма	Графическая форма
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получим точки Ax, Ay, Az
2. Горизонтальная проекция А1 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Ay, проведенных параллельно осям X и Y
3. Фронтальная проекция А2 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Az, проведенных параллельно осям X и Ζ
4. Профильная проекция А3 находится на пересечении линий связи из точек Ay и Az, проведенных параллельно осям Y и Ζ
5. Точка А находится на пересечении линий связи, проведенных из точек А1, А2 и А3

Таблица 3.2

Алгоритм построения комплексного чертежа
точки по координатам

Словесная форма	Графическая форма
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получаем точки Ax, Ay, Az
2. Горизонтальная проекция А1 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Ay, проведенных параллельно осям X и Y
3. Фронтальная проекция А2 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Az, проведенных параллельно осям X и Ζ
4. Профильная проекция А3 находится на пересечении линий связи из точек Az и Ay, проведенных параллельно осям Ζ и Y