Построение чертежа по схеме Монжа

Процесс проецирования, рассмотренный в разд. 1, позволяет строить изображения по заданному оригиналу, т. е. решать прямую задачу начертательной геометрии – построение проекций оригинала методом проецирования. Наряду с этим возникает обратная задача – восстановление оригинала по его проекциям.

Данная задача реализуется в общепринятой схеме построения обратимого чертежа[3], применяемой в начертательной геометрии.

Как уже было сказано выше, основные принципы построения обратимых чертежей изложены Гаспаром Монжем – крупным французским геометром конца XVIII начала XIX в.

По схеме Монжа оригинал проецируется ортогонально на две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций П₁ и П₂, называемые горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций (рис. 2.1).

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти (квадранты), которые нумеруются в порядке, показанном на рис. 2.1, а. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. После проецирования оригинала плоскости П₁ и П₂ совмещают в одну плоскость, П₁=П₂, причем плоскость П₁ вращается вокруг оси ОX по часовой стрелке (рис. 2.1). Полученный чертеж называют эпюром[4] Монжа (рис. 2.1, б).

а	б
Рис. 2.1. Система плоскостей проекций П1П2: а – наглядное изображение; б – эпюр Монжа

2.2. Построение чертежей в декартовой системе
координатных плоскостей проекций

Из практики исследования видно, что построение изображений в системе двух взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций не всегда даёт однозначно полное преставление о форме и размерах оригинала (геометрического образа). Для решения данной задачи вводят систему трёх взаимно-перпендикулярных плоскостей, дополняя систему двух плоскостей П₁П₂ профильной плоскостью П₃ (рис. 2.2).

Таким образом, в систему трех плоскостей проекций входят:

П₁ – горизонтальная плоскость проекций;

П₂ – фронтальная плоскость проекций;

П₃ – профильная плоскость проекций.

Для определения положения оригинала в пространстве по ортогональным проекциям Монжа наиболее удобно использовать совмещение данной модели системы трёх плоскостей проекции с системой координат, предложенной французским математиком Декартом[5] (рис. 2.3).

Пересекаясь, координатные плоскости образуют в пространстве прямоугольный трехгранник и делят пространство на 8 частей – октантов[6]. Ребра этого трехгранника – линии пересечения плоскостей – называют осями координат и их обозначают x, y, z. Точка пересечения осей – начало координат– точка О.

Ось OХ называют осью абсцисс[7], ось OУ – осью ординат[8], ось OZ – осью аппликат[9]. Координатные оси могут иметь положительные и отрицательные направления. По заданным координатам можно определить октант, в котором находится геометрический образ (рис. 2.4).

В табл. 2.1 рассмотрены знаки координат в 1-м – 8-м октантах.

Для получения комплексного чертежа[10] в системе трех плоскостей проекций плоскости совмещают в одну плоскость вращением вокруг осей OY и OZ в следующем порядке.

1. Плоскость П₁ совмещают вращением вокруг оси х с плоскостью П₂ .

2. Плоскость П₃ совмещают вращением вокруг оси z с плоскостью П₂(рис. 2.4). При этом ось OY как бы «раздваивается» и повторяется в двух плоскостях: на горизонтальной плоскости – для построения горизонтальных проекций и на профильной – для построения профильных проекций.

На рис. 2.5 представлен результат проецирования геометрического образа в системе трех плоскостей проекций.