18.2.6.3.1. Приближённое вычисление значений функций. Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке 
, и функция разлагается в окрестности точки в ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке 
, которое надо найти, равно 
, и принимается 
. Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины 
. Погрешность равна остатку ряда после n -го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для 
(или 
). При оценке принципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, то просто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией. В разделе 18.4.2. Знакочередующиеся ряды мы рассмотрели и тот, и другой случай при нахождении значений 
и 
; в разделе 7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора приведён пример вычисления значения 
с погрешностью 
. Другие примеры будут рассмотрены ниже.
Интегрирование функций.
1. Как мы знаем, интеграл 
аналитически не берётся. Это специальная функция, называемая интегральным синусом и обозначаемая 
. Получим разложение этой функции в степенной ряд. 
, 
, почленно интегрируем: 
. Ряд сходится к при 
. Теперь легко вычислить значение этой функции в любой точке. Пусть, например, надо найти 
с погрешностью 
. 
. Ряд знакочередующийся, первый член, меньший 
, третий, поэтому 
.
2. Найти 
. Этот интеграл берётся аналитически. Надо разложить знаменатель на множители 
, разложить подынтегральную функцию на пять простых дробей, найти восемь неопределённых коэффициентов и т.д., и после этого вычислять значение первообразной в начальной и конечной точках. Поступим по другому. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно проинтегрируем: 
, 
. Остаток ряда после n -го члена 
. Если , достаточно взять n =2, и 
.
18.2.6.3.3. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Пусть дана задача Коши: 
,
Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так. 
. Первые n коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.
Примеры. 1. 
. Из уравнения находим 
. Дифференцируем уравнение: 
. Далее дифференцируем уравнение и находим значение производной в точке 
: 
, 
. Так мы можем вычислить производные любого порядка. Решение задачи Коши: 
.
2. 
. Находим: 
Закономерность понятна. Производные порядка 3 n -1 и 3 n равны нулю, производная порядка 3 n +1 равна 
, поэтому 
С помощью признака Даламбера легко убедится, что этот ряд сходится при , следовательно, даёт решение задачи Коши на всей числовой оси.
