Стремится к нулю при:.
сходится 
. Обратное неверно. Пример – гармонический ряд.
Доказательство. Если, то и, но, следовательно.
С проверки выполнения условия 
надо начинать решение любой задачи на исследование сходимости ряда: если это условие не выполняется, то ряд заведомо расходится. Это условие необходимо, но не достаточно для сходимости ряда: общий член гармонического ряда (18.1.2) 
, однако этот ряд расходится.
Введём понятие остатка ряда.
Определение. Остатком ряда (18.2.1) после n -го члена называется ряд 
.
18.1.2.2. Если сходится ряд (18.2.1), то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Доказательство. Пусть 
- частичные суммы ряда (18.2.1); обозначим k -ую частичную сумму остатка 
: 
. Тогда 
. Устремим 
, считая n фиксированным числом. Ряд (18.2.1) сходится, т.е. существует конечный 
, следовательно существует конечный предел 
, т.е. остаток сходится. Обратное утверждение доказывается также. Так как 
, то из существования конечного предела 
следует существование конечного предела , т.е. из сходимости остатка следует сходимость ряда.
Житейский вывод из этого свойства: отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или добавление в его начало нескольких новых членов не влияет на сходимость ряда.
18.1.2.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при 
.
Доказательство. Пусть S - сумма исходного ряда (18.2.1), 
- сумма его остатка. Из равенства следует 
, т.е. 
. Отсюда 
.
Здесь тоже можно сделать житейский вывод. Из предыдущего свойства следует, что сходимость ряда определяется сходимостью его остатка, т.е. хвостом ряда, а сумма S ряда, как следует из равенства 
, о пределяется пределом 
, т.е. началом ряда.
18.1.2.4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.
Доказательство. Частичная сумма ряда 
есть 
; по свойству предела 
.
18.1.2.5. Два сходящихся ряда 
и 
можно почленно складывать и вычитать; ряд 
также сходится, и его сумма равна 
.
Доказательство и этого свойства - прямое следствие свойств пределов для частичных сумм: 
.
18.1.3. Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами: 
для 
. Для таких рядов частичная сумма 
является возрастающей функцией аргумента n. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, поэтому сразу сформулируем признак сходимости положительных рядов:
Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.
В случае, когда последовательность частичных сумм положительного ряда неограничена, будем говорить, что его сумма равна 
.
При доказательстве расходимости гармонического ряда мы, по существу, доказали, что последовательность его частичных сумм неограничена. В качестве другого примера прямого применения этого признака рассмотрим ряд Дирихле (или обобщённый гармонический ряд)
. (18.3.1)
Если s <1, то 
, и, так как частичные суммы 
неограничены, то суммы 
и подавно неограничены, т.е. при s <1 ряд (18.3.1) расходится. Пусть теперь s >1. Как и для гармонического ряда сгруппируем члены в частичной сумме по степеням числа 2: 
…+ 
.
Структура каждой скобки: 
, поэтому 
(мы воспользовались формулой для частичной суммы геометрической прогрессии). Последовательность ограничена; ряд сходится.
Итак, ряд Дирихле (18.3.1) сходится при s >1, расходится при s 
1. Дальше мы дадим более простое доказательство этого факта, основанное на интегральном признаке Коши.