Стандартные разложения.
1..
Всё начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции по рядам (см. раздел 18.1. Основные определения) мы доказали, что эта функция является суммой ряда 
, и ряд сходится к функции при 
. Итак,
.
Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на - х, получим
;
при замене х на 
получаем
; 
;
и т.д.; область сходимости всех этих рядов одна и та же: .
2. 
.
Все производные этой функции в точке х =0 равны 
, поэтому ряд имеет вид
.
Область сходимости этого ряда - вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда), поэтому 
при 
. Как следствие, остаточный член формулы Тейлора 
. Поэтому ряд сходится к в любой точке х.
3..
Здесь 
дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид
.
Этот ряд абсолютно сходится при 
, и его сумма действительно равна 
. Остаточный член формулы Тейлора имеетвид 
, где 
или 
- ограниченная функция, а 
(это общий член предыдущего разложения).
4..
Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:
.
Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.
5. Самостоятельно доказать, что на всей числовой оси 
, 
.
6..
Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные.
… Ряд Маклорена имеет вид
Ищем интервал сходимости: 
, следовательно, интервал сходимости есть 
. Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при 
ряд абсолютно сходится в обеих точках 
, при 
ряд условно сходится в точке 
и расходится в точке 
, при 
расходится в обеих точках.
7..
Здесь мы воспользуемся тем, что 
. Так как 
, то, после почленного интегрирования,
.
Область сходимости этого ряда - полуинтервал 
, сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х =1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х =1 слева. Отметим, что взяв х =1, мы найдём сумму ряда 
.
8. Почленно интегрируя ряд , получим разложение для функции 
. Выполнить все выкладки самостоятельно, выписать область сходимости.
9. Выпишем разложение функции 
по формуле биномиального ряда с 
: 
. Знаменатель 
представлен как 
, двойной факториал 
означает произведение всех натуральных чисел той же чётности, что и 
, не превосходящих . Разложение сходится к функции при . Почленно интегрируя его от 0 до х, получим 
. Оказывается, что этот ряд сходится к функции на всём отрезке 
; при х =1 получаем ещё одно красивое представление числа 
: 
.
18.2.6.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням 
, решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать. Рассмотрим ряд примеров.
1. Разложить функцию 
по степеням 
.
Решение. 
. Ряд сходится при .
2. Разложить функцию 
по степеням .
Решение. 
. Область сходимости: 
.
3. Разложить функцию 
по степеням .
Решение. 
. Ряд сходится при .
4. Разложить функцию 
по степеням .
Решение. 
. Ряд сходится при 
.
5. Разложить функцию 
по степеням .
Решение. 
. Область сходимости 
.
6. Разложить функцию 
по степеням .
Решение. Разложение в ряд простых рациональных дробей второго типа получается почленным дифференцированием соответствующих разложений дробей первого типа. В этом примере 
. Дальше почленным дифференцированием можно получить разложения функций 
, 
и т.д.
7. Разложить функцию 
по степеням .
Решение. Если рациональная дробь не является простой, она сначала представляется в виде суммы простых дробей: 
, а затем действуем, как в примере 5: 
, где 
.
Естественно, такой подход неприменим, например, для разложения функции 
по степеням х. Здесь, если надо получить несколько первых членов ряда Тейлора, проще всего найти значения в точке х =0 требуемого количества первых производных.
