Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.
Доказательство. Под почленным интегрированием понимается интегрирование ряда 
по отрезку 
. Результат этой операции: 
.
Это тоже степенной ряд, его радиус сходимости 
равен радиусу сходимости исходного ряда.
Ряд, получающийся в результате почленного дифференцирования тоже степенной ряд: 
. Его радиус сходимости 
тоже равен радиусу сходимости исходного ряда.
2. (Почленное интегрирование степенного ряда). Пусть сумма степенного ряда на области сходимости равна функции 
, т.е. 
. Тогда для 
.
Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда на отрезке иТеоремы 18.2.3.2 о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда.
3. (Почленное дифференцирование степенного ряда). Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и 
.
Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда, составленного из производных членов исходного ряда, на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости иТеоремы 18.2.3.3 о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда.
4. (Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости имеет производные любого порядка; эти производные могут быть получены последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.
Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из доказанной теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда; последовательное применение этой теоремы даёт 
и т.д.
18.2.5. Ряд Тейлора. Мы доказали, что сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости бесконечно дифференцируема. Выразим коэффициенты ряда через производные суммы (похожую задачу мы решали в разделе 7.7. Формула Тейлора).
. Положим здесь 
. Все члены ряда, кроме нулевого, исчезают, и 
.
. Положим , тогда 
.
. 
.
. 
.
Продолжая этот процесс, получим 
. Заменив коэффициенты полученными выражениями, представим ряд как
. Ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Тейлора функции . В частном случае, когда 
и ряд принимает вид
, его принято называть рядом Маклорена. Напомним, что эти ряды получены в предположении, что - сумма степенного ряда и х - точка интервала сходимости.
Теперь рассмотрим обратную задачу: какой должна быть функция , чтобы её можно было представить в виде суммы степенного ряда? Первое, что очевидно, это то, что должна быть бесконечно дифференцируемой функцией (так как сумма ряда бесконечно дифференцируема). Второе - то, что коэффициенты ряда должны быть равны . Поэтому предположим, что дана бесконечно дифференцируемая функция , мы нашли коэффициенты ряда по формуле , составили формальный ряд 
и нашли область его сходимости. Будет ли сумма этого ряда на области сходимости равна ? Это тот вопрос, которым мы будем заниматься дальше.
Приведём пример, когда ряд Маклорена функции сходится не к , а к другой функции. Пусть 
Мы докажем, что все производные этой функции в точке х =0 равны нулю. При 
. 
. Такие неопределённости придётся раскрывать при вычислении любой производной; заменой t =1/ x они сводятся к неопределённостям, содержащим степенные и показательные функции, значение предела во всех случаях определяется пределом показательной функции и равно нулю. Значение производной в точке х =0 находим по определению производной:
. Итак, производная 
непрерывна в точке х =0 и равна нулю. 
и т.д. Так доказывается, что все производные в точке х =0 равны нулю. Как следствие, все коэффициенты ряда Тейлора этой функции равны нулю, и на всей числовой оси ряд сходится к функции, тождественно равной нулю, а не к .
Сформулируем условия, при которых ряд Тейлора функции сходится к этой функции. Эти условия удобно сформулировать в терминах остаточного члена формулы Тейлора. Напомним результаты раздела 7.7. Формула Тейлора: если имеет в окрестности точки 
все производные до n +1-го порядка включительно, то может быть представлена в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: 
, где 
- остаточный член в форме Лагранжа; 
- точка, расположенная между х и , 
.
Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Доказательство. Необходимость. Пусть в окрестности точки функция представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора 
, где 
- частичная сумма ряда, 
- его остаток. Так как имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: 
. Сравнивая эти представления, получаем 
. Из сходимости ряда к следует, что 
, что и требовалось доказать.
Достаточность. Если , то 
, т.е. остаток ряда стремится к нулю при 
, т.е. ряд сходится к функции .
